Calcule o período aproximado de um pêndulo de torção que prende um anel fino de massa 500 g e raio 5 cm e constante de torção 0,2 .
0,5 \mathrm{~s}
0,8 \mathrm{~s}
1,0 \mathrm{~s}
1,2 \mathrm{~s}

Passo 1

O enunciado pede o período aproximado do pêndulo de torção que prende um anel fino. Dados fornecidos:
  • massa do anel: m=500\\ \text{g}=0,5\\ \text{kg};
  • raio do anel: r=5\\ \text{cm}=0,05\\ \text{m};
  • constante de torção: \kappa=0,2 (unidade assumida: \text{N}\cdot\text{m}/\text{rad}).
A pergunta: calcular o período T e escolher a opção correta entre 0,5\\ \text{s}, 0,8\\ \text{s}, 1,0\\ \text{s} ou 1,2\\ \text{s}.

Passo 2

Fórmula básica do pêndulo de torção: para pequenas oscilações a equação do movimento rotacional é
I\,\ddot{\theta} = -\kappa\,\theta,
onde I é o momento de inércia do corpo em relação ao eixo e \kappa é a constante de torção. Isso é análogo à equação de um oscilador harmônico simples; a frequência angular natural é
\omega = \sqrt{\frac{\kappa}{I}}.
O período T está relacionado com \omega por
T = \frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{I}{\kappa}}.
Explicando as variáveis: I mede quanto o corpo resiste à aceleração angular (depende da massa e da distribuição), \kappa mede o torque de restauração por radiano de deslocamento, \omega é a frequência angular (rad/s) e T é o tempo de uma oscilação completa.

Passo 3

Momento de inércia do anel fino (massa concentrada ao raio r) em relação ao eixo central:
I = m r^{2}.
Aqui m é a massa do anel e r o seu raio.

Passo 4

Calcular I usando os valores convertidos:
r^{2}=(0,05)^{2}=0,0025,
I = m r^{2}=0,5\times 0,0025=0,00125\\ \text{kg}\cdot\text{m}^{2}.

Passo 5

Calcular a razão I/\kappa e sua raiz:
\frac{I}{\kappa}=\frac{0,00125}{0,2}=0,00625,
\sqrt{\frac{I}{\kappa}}=\sqrt{0,00625}\approx 0,0790569\\ \text{s}.

Passo 6

Agora calcular o período:
T=2\pi\sqrt{\frac{I}{\kappa}}=2\pi\times 0,0790569\approx 0,496\\ \text{s}.
Arredondando para uma casa decimal (como nas opções), obtemos T\approx 0,5\\ \text{s}. Vai nessa — é a primeira opção.

Resposta

0,5\\ \text{s}

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