Calcule o pH das seguintes soluções:
hidrogeno tartarato de sódio, \mathrm{NaHT}, 0,100 \mathrm{~mol} / \mathrm{L}

Passo 1

O enunciado pede: calcular o pH de uma solução de hidrogeno-tartarato de sódio, ou seja, de \mathrm{NaHT}, com concentração 0,100\\ \mathrm{mol/L}. Informações relevantes fornecidas ou inferidas diretamente do enunciado:
  • A espécie dissolvida é o sal \mathrm{NaHT}. Isso fornece, inicialmente, a concentração do íon hidrogeno-tartarato \mathrm{HT^-} igual a 0,100\\ \mathrm{mol/L} (o sódio \mathrm{Na^+} é espectador).
  • Não foram dadas constantes de dissociação no enunciado; vou usar os valores padrão para o ácido tartárico (típicos em tabelas): pK_{a1}=2,98,\qquad pK_{a2}=4,34.
Essas duas constantes são as dissociações sequenciais de \mathrm{H_2T} (ácido tartárico):
\mathrm{H_2T}\rightleftharpoons \mathrm{H^+}+\mathrm{HT^-}\quad(K_{a1}), \qquad \mathrm{HT^-}\rightleftharpoons \mathrm{H^+}+\mathrm{T^{2-}}\quad(K_{a2}).

Passo 2

Entendendo o comportamento químico: o íon \mathrm{HT^-} é uma espécie anfiprótica (pode atuar como ácido, doando um próton para formar \mathrm{T^{2-}}, ou como base, aceitando um próton para formar \mathrm{H_2T}). Em soluções de sais cuja espécie principal é exatamente essa forma intermediária de um ácido dicarboxílico, existe uma fórmula prática muito usada na prova:
\text{pH}\approx \tfrac{1}{2}\big(pK_{a1}+pK_{a2}\big).
Vou explicar por que essa fórmula funciona e quando ela é válida.

Passo 3

Derivação didática da fórmula (passo a passo, sem pular etapas):
  1. Escrevemos as constantes de equilíbrio em termos das concentrações no equilíbrio:
K_{a1}=\frac{[\mathrm{H^+}][\mathrm{HT^-}]}{[\mathrm{H_2T}]}, \qquad K_{a2}=\frac{[\mathrm{H^+}][\mathrm{T^{2-}}]}{[\mathrm{HT^-}]}.
  1. Isolamos [\mathrm{H_2T}] e [\mathrm{T^{2-}}] em função de [\mathrm{HT^-}] e [\mathrm{H^+}]:
[\mathrm{H_2T}]=\frac{[\mathrm{H^+}][\mathrm{HT^-}]}{K_{a1}}, \qquad [\mathrm{T^{2-}}]=\frac{K_{a2}[\mathrm{HT^-}]}{[\mathrm{H^+}]}.
  1. Aplicamos a conservação de massa para o total C de espécies relacionadas ao tartarato (inicialmente todo em forma \mathrm{HT^-}):
C=[\mathrm{H_2T}]+[\mathrm{HT^-}]+[\mathrm{T^{2-}}].
Substituindo as expressões obtidas em (2):
C=[\mathrm{HT^-}]\left(1+\frac{[\mathrm{H^+}]}{K_{a1}}+\frac{K_{a2}}{[\mathrm{H^+}]}\right).
  1. Reescrevendo:
\frac{C}{[\mathrm{HT^-}]}=1+\frac{[\mathrm{H^+}]}{K_{a1}}+\frac{K_{a2}}{[\mathrm{H^+}]}.
  1. Agora usamos a equação de neutralidade elétrica para a solução (o catíon \mathrm{Na^+} tem concentração C e é espectador):
[\mathrm{Na^+}]+[\mathrm{H^+}]=[\mathrm{HT^-}]+2[\mathrm{T^{2-}}]+[\mathrm{OH^-}].
Substituímos [\mathrm{Na^+}]=C, [\mathrm{T^{2-}}]=K_{a2}[\mathrm{HT^-}]/[\mathrm{H^+}] e [\mathrm{OH^-}]=K_w/[\mathrm{H^+}].
6) As manipulações completas levam a uma expressão algébrica na qual, para concentrações moderadas típicas (por exemplo C=0,100\\ \mathrm{M}) e pH na faixa de um ácido fraco, podemos fazer duas boas aproximações justificáveis:
  • [\mathrm{HT^-}]\approx C (a maior parte permanece na forma inicial),
  • [\mathrm{OH^-}] = K_w/[\mathrm{H^+}] é desprezível comparado aos termos principais (pois K_w é muito pequeno).
    Com essas aproximações, a expressão do item (4) simplifica e, após rearranjo, resulta em
[\mathrm{H^+}]^2 \approx K_{a1}K_{a2}.
  1. Portanto, obtemos a fórmula prática
[\mathrm{H^+}]\approx\sqrt{K_{a1}K_{a2}} \quad\Longrightarrow\quad \mathrm{pH}\approx\tfrac{1}{2}\big(pK_{a1}+pK_{a2}\big).
Comentário didático: essa fórmula mostra que o pH da solução do íon intermediário não depende fortemente da concentração C (desde que C seja suficientemente maior que [\mathrm{H^+}] e as aproximações acima valham). É um resultado clássico para sais do tipo \mathrm{A^-} quando \mathrm{A^-} vem de um ácido diprótico \mathrm{H_2A}.

Passo 4

Agora aplicamos numericamente usando os pK_a assumidos:
pK_{a1}=2,98,\qquad pK_{a2}=4,34.
Usando a fórmula
\mathrm{pH}\approx\tfrac{1}{2}\big(pK_{a1}+pK_{a2}\big)
temos
\mathrm{pH}\approx\tfrac{1}{2}\big(2,98+4,34\big)=\tfrac{1}{2}(7,32)=3,66.

Passo 5

Verificação rápida das aproximações numéricas:
  • Calculamos [\mathrm{H^+}]\approx 10^{-\mathrm{pH}}=10^{-3,66}\approx 2,19\times10^{-4}\\ \mathrm{mol/L}.
  • A concentração inicial C=0,100\\ \mathrm{mol/L} é muito maior que [\mathrm{H^+}], logo a aproximação [\mathrm{HT^-}]\approx C é válida.
  • O termo K_w/[\mathrm{H^+}] vale aproximadamente 10^{-14}/2{,}19\times10^{-4}\approx 4{,}6\times10^{-11}, totalmente desprezível. Assim, as aproximações usadas na derivação são justificadas numericamente.

Resposta

pH = 3,66

Exercícios relacionados