Calcule o pH das seguintes soluções:
\mathrm{HCN} 1,0.10^{-4} \mathrm{~mol} / \mathrm{L}

Passo 1

O enunciado pede: calcular o pH de uma solução de ácido cianídrico com concentração dada.
Informações fornecidas pelo enunciado: a concentração do ácido é \;1{,}0\times10^{-4}\;\mathrm{mol/L}.
Observação importante: o enunciado não dá o valor de K_a de \mathrm{HCN}. Vou usar o valor de tabela frequentemente adotado para \mathrm{HCN}: \;K_a=6{,}2\times10^{-10}.

Passo 2

Entendendo o que acontece em solução: \mathrm{HCN} é um ácido fraco que se ioniza parcialmente segundo a reação
\mathrm{HCN} \rightleftharpoons \mathrm{H^{+}} + \mathrm{CN^{-}}.
A constante de acidez K_a é definida por
K_a=\frac{[\mathrm{H^{+}}][\mathrm{CN^{-}}]}{[\mathrm{HCN}]}.
Aqui:
  • [\mathrm{H^{+}}] é a concentração de íons hidrogênio (o que queremos para obter o pH);
  • [\mathrm{CN^{-}}] é a concentração do ânion cianeto formado;
  • [\mathrm{HCN}] é a concentração restante do ácido não dissociado.

Passo 3

Montamos uma tabela ICE (Initial, Change, Equilibrium). Seja c a concentração inicial de \mathrm{HCN} e seja x a fração que se dissocia adicionalmente (em mol/L):
\begin{array}{lcl} \text{inicial:} & [\mathrm{HCN}]=c=1{,}0\times10^{-4}, & [\mathrm{H^{+}}]=[\mathrm{CN^{-}}]=0 \text{ (da dissociação do ácido)}\\[4pt] \text{variação:} & [\mathrm{HCN}]\to c-x, & [\mathrm{H^{+}}]=x,\;[\mathrm{CN^{-}}]=x\\[4pt] \text{equilíbrio:} & [\mathrm{HCN}]=c-x, & [\mathrm{H^{+}}]=x,\;[\mathrm{CN^{-}}]=x \end{array}çãáçãí
Inserindo na expressão de K_a obtemos a equação
K_a=\frac{x\cdot x}{c-x}=\frac{x^{2}}{c-x}.]

Passo 4

Método usual de primeira aproximação: se x\ll c podemos aproximar c-x\approx c e obter
x\approx\sqrt{K_a\,c}.
Vou calcular essa aproximação para ter uma estimativa inicial. Substituindo os valores:
K_a\,c = \left(6{,}2\times10^{-10}\right)\left(1{,}0\times10^{-4}\right)=6{,}2\times10^{-14}.
Tirando raiz quadrada:
x\approx\sqrt{6{,}2\times10^{-14}}\approx2{,}49\times10^{-7}\\ \mathrm{mol/L}.
Esse x é a contribuição de \mathrm{HCN} à concentração de \mathrm{H^{+}}. O pH aproximado seria
\mathrm{pH}\approx -\log_{10}\left(2{,}49\times10^{-7}\right)\approx6{,}60.

Passo 5

Verificação da hipótese x\ll c: calculemos x/c:
\frac{x}{c}\approx\frac{2{,}49\times10^{-7}}{1{,}0\times10^{-4}}=2{,}49\times10^{-3}=0{,}249\%.
Isso é muito menor que 5\%, logo a aproximação c-x\approx c é válida. Contudo há um detalhe prático: a autoionização da água fornece já [\mathrm{H^{+}}]=1{,}0\times10^{-7}. Como o valor aproximado 2{,}49\times10^{-7} não é muito maior que 1{,}0\times10^{-7}, convém fazer um cálculo mais preciso que leve em conta o [\mathrm{H^{+}}] inicial da água.

Passo 6

Cálculo mais preciso incluindo a contribuição inicial da água. Seja y a parcela de \mathrm{HCN} que se dissocia; então
[\mathrm{H^{+}}]_{\text{total}}=y+[ \mathrm{H^{+}}]_{\text{água}}=y+1{,}0\times10^{-7}, \qquad [\mathrm{CN^{-}}]=y,\qquad [\mathrm{HCN}]=c-y.á
Inserindo na expressão de K_a:
K_a=\frac{(y+1{,}0\times10^{-7})\,y}{c-y}.
Multiplicando ambos os lados por c-y e rearranjando obtemos uma equação quadrática em y:
y^{2}+\bigl(1{,}0\times10^{-7}+K_a\bigr)y-K_a c=0.

Passo 7

Agora substituímos os números:
K_a=6{,}2\times10^{-10},\qquad c=1{,}0\times10^{-4}.
Os coeficientes ficam
b=1{,}0\times10^{-7}+K_a=1{,}0062\times10^{-7}, \qquad -K_a c=-6{,}2\times10^{-14}.
O discriminante é
\Delta=b^{2}+4K_a c=(1{,}0062\times10^{-7})^{2}+4(6{,}2\times10^{-14})
=(1{,}01245\times10^{-14})+(2{,}48\times10^{-13})=2{,}581245\times10^{-13}.
A raiz quadrada do discriminante é
\sqrt{\Delta}\approx5{,}0806\times10^{-7}.
Tomando a raiz positiva da quadrática:
y=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2}=\frac{-1{,}0062\times10^{-7}+5{,}0806\times10^{-7}}{2} \approx2{,}0372\times10^{-7}\\ \mathrm{mol/L}.
Logo a concentração total de \mathrm{H^{+}} na solução é
[\mathrm{H^{+}}]_{\text{total}}=y+1{,}0\times10^{-7}\approx3{,}0372\times10^{-7}\\ \mathrm{mol/L}.

Passo 8

Cálculo do pH a partir de [\mathrm{H^{+}}]_{\text{total}}:
\mathrm{pH}=-\log_{10}\!\bigl(3{,}0372\times10^{-7}\bigr)\approx6{,}52.
Interpretando: a solução é levemente ácida, mas muito próxima da neutralidade, porque \mathrm{HCN} é um ácido muito fraco e a concentração é bastante baixa.

Resposta

\mathrm{pH}\approx6{,}52

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