Calcule o pH de uma solução 10^{-7} \mathrm{~mol} / \mathrm{L} de NaOH .

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede calcular o pH da solução.
  • A solução é de NaOH com concentração \,10^{-7}\,\mathrm{mol/L}.
  • Vou assumir temperatura 25^\circ\mathrm{C} (condição padrão) e, portanto, a constante de ionização da água é \,K_w=10^{-14}\,\mathrm{(mol^2/L^2)}.
  • Informação útil (não pedida explicitamente, mas necessária): o NaOH é um eletrólito forte e se dissocia completamente em água em íons \mathrm{Na^+} e \mathrm{OH^-}.

Passo 2

Definição e ideia básica que vamos usar:
  • pH é definido por \mathrm{pH} = -\log_{10}[\mathrm{H^+}], onde [\mathrm{H^+}] é a concentração de íons hidrogénio em mol/L.
  • A água autoioniza segundo \,K_w = [\mathrm{H^+}][\mathrm{OH^-}]=10^{-14}.
  • Ao adicionar NaOH (base forte), ele fornece uma concentração inicial de \mathrm{OH^-} igual à concentração do NaOH, mas não podemos ignorar a autoionização da água quando as concentrações são da ordem de 10^{-7}\,\mathrm{M}. Ou seja, a contribuição da água é relevante e precisa ser considerada.

Passo 3

Escolher incógnitas e escrever relações químico-físicas fundamentais:
  • Seja c a concentração de NaOH, isto é c = 10^{-7}\,\mathrm{mol/L}.
  • Seja x a concentração de [\mathrm{H^+}] no equilíbrio; ou seja, x=[\mathrm{H^+}].
  • A dissociação do NaOH dá [\mathrm{Na^+}]=c e contribui com uma parte de [\mathrm{OH^-}] igual a c.
  • Pelo princípio de eletroneutralidade (soma das cargas positivas = soma das cargas negativas): [\mathrm{Na^+}] + [\mathrm{H^+}] = [\mathrm{OH^-}].Substituindo [\mathrm{Na^+}]=c e [\mathrm{H^+}]=x obtemos: c + x = [\mathrm{OH^-}].

Passo 4

Relacionar com a constante de ionização da água e montar a equação para x:
  • Da definição de K_w: [\mathrm{H^+}][\mathrm{OH^-}] = K_w.
  • Substituindo [\mathrm{H^+}]=x e [\mathrm{OH^-}]=c+x obtemos a equação: x(c + x) = K_w.
  • Desenvolvendo: x^2 + c x - K_w = 0.Esta é uma equação quadrática em x.

Passo 5

Resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática):
  • Para a equação x^2 + c x - K_w = 0 a solução positiva física é x = \frac{-c + \sqrt{c^2 + 4K_w}}{2}.
  • Agora substituímos os números: c = 10^{-7} e K_w = 10^{-14}.
    Calculemos as partes: c^2 = (10^{-7})^2 = 10^{-14},
4K_w = 4\times 10^{-14},
c^2 + 4K_w = 10^{-14} + 4\times 10^{-14} = 5\times 10^{-14}.
  • A raiz quadrada: \sqrt{c^2 + 4K_w} = \sqrt{5\times 10^{-14}} = \sqrt{5}\times 10^{-7}\approx 2,2360679\times 10^{-7}.
  • Portanto x = \frac{-1\times 10^{-7} + 2,2360679\times 10^{-7}}{2} = \frac{1,2360679\times 10^{-7}}{2} \approx 6,1803395\times 10^{-8}\,\mathrm{mol/L}.

Passo 6

Calcular o pH e interpretar o resultado:
  • pH é \,-\log_{10}(x). Então \mathrm{pH} = -\log_{10}\!\left(6{,}1803395\times 10^{-8}\right).
  • Usando propriedades de logaritmo: -\log_{10}\!\left(6{,}1803395\times 10^{-8}\right) = -\big(\log_{10}(6{,}1803395)+\log_{10}(10^{-8})\big)
= -\big(0{,}7905 - 8\big) = 7{,}2095\ldots
  • Arredondando razoavelmente para duas casas decimais: \mathrm{pH} \approx 7{,}21.
  • Interpretação: o pH é ligeiramente básico (maior que 7), porque ao adicionar 10^{-7}\,\mathrm{M} de NaOH nós aumentamos um pouco a basicidade em relação à água pura; a razão para não ser, por exemplo, 6 ou 8 é que a contribuição da autoionização da água é da mesma ordem que a do NaOH, então ambas devem ser consideradas.

Resposta

\mathrm{pH}\approx 7{,}21

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