a) Calcule o pH de uma solução aquosa de \mathrm{HCl} 1,0 \times 10^{-2} \mathrm{M} considerando e desconsiderando a atividade.

Passo 1

O enunciado dá uma solução aquosa de \mathrm{HCl} com concentração \,1,0\times10^{-2}\\ \mathrm{M}\, e pede o pH em dois casos:
  • considerando a atividade dos íons (isto é, usando atividade a_{\mathrm{H}^+});
  • desconsiderando a atividade (isto é, usando apenas a concentração [\mathrm{H}^+]).
Informações que vou usar (não pedidas, mas necessárias): vou assumir temperatura ambiente 25^\circ\mathrm{C} (valor padrão para constantes como a constante de Debye–Hückel) e que o ácido é fortemente dissociado (HCl → H+ + Cl−), ou seja [\mathrm{H}^+]=1,0\times10^{-2}\\ \mathrm{M}.

Passo 2

Definição e interpretação do pH (aula rapidinha):
  • Por definição, o pH é dado por
\mathrm{pH} = -\log_{10} a_{\mathrm{H}^+},
onde a_{\mathrm{H}^+} é a atividade do ião hidrogênio.
  • Se desconsideramos efeitos de atividade, tomamos a_{\mathrm{H}^+}=[\mathrm{H}^+]. Nesse caso o pH é simplesmente
\mathrm{pH} = -\log_{10}[\mathrm{H}^+].
Aqui [\mathrm{H}^+]=1,0\times10^{-2}\\ \mathrm{M} (por dissociação completa de HCl).
Cálculo do pH desconsiderando atividade:
\mathrm{pH} = -\log_{10}\!\left(1,0\times10^{-2}\right)= -\left(\log_{10}1,0 + \log_{10}10^{-2}\right)= -\left(0 -2\right)=2,00.

Passo 3

Conceito de atividade e coeficiente de atividade:
  • A atividade relaciona-se com a concentração via o coeficiente de atividade \gamma:
a_{\mathrm{H}^+} = \gamma_{\pm}\,[\mathrm{H}^+].
Aqui \gamma_{\pm} é o coeficiente de atividade iônico médio do eletrólito (para eletrólitos 1:1 como HCl, \gamma_+ \approx \gamma_- \approx \gamma_{\pm}).
  • Para estimar \gamma_{\pm} em soluções diluídas usa-se a lei de Debye–Hückel (forma limite), que em água a 25^\circ\mathrm{C} pode ser escrita como
\log_{10}\gamma_{\pm} = -A\,|z_+ z_-|\,\sqrt{I},
onde:
  • A é uma constante do solvente à 25^\circ\mathrm{C}: A\approx0,509\\ \mathrm{mol^{-1/2}\,L^{1/2}};
  • z_+ e z_- são as cargas dos íons ( +1 e -1 para HCl);
  • I é a força iônica da solução, definida por
I = \tfrac{1}{2}\sum_i c_i z_i^2,
com c_i as concentrações molares dos íons.
Observação prática: a lei limite de Debye–Hückel é uma aproximação boa para soluções diluídas (tipicamente I\lesssim0,01 0,1\\ \mathrm{M}); aqui estamos em 0,01\\ \mathrm{M}, então vale como estimativa razoável.

Passo 4

Calcular a força iônica I da solução (usei [\mathrm{H}^+] e [\mathrm{Cl}^-] obtidos da dissociação de HCl):
  • Para HCl totalmente dissociado:
    [\mathrm{H}^+] = 1,0\times10^{-2}\\ \mathrm{M} e [\mathrm{Cl}^-] = 1,0\times10^{-2}\\ \mathrm{M}.
  • Aplicando a fórmula da força iônica:
I = \tfrac{1}{2}\big(c_{\mathrm{H}^+} z_{\mathrm{H}^+}^2 + c_{\mathrm{Cl}^-} z_{\mathrm{Cl}^-}^2\big) = \tfrac{1}{2}\big(1,0\times10^{-2}\cdot1^2 + 1,0\times10^{-2}\cdot1^2\big) = 1,0\times10^{-2}\\ \mathrm{M}.

Passo 5

Calcular o coeficiente de atividade por Debye–Hückel:
  • Para HCl (eletrólito 1:1), |z_+ z_-| = 1. A constante A=0,509 e \sqrt{I}=\sqrt{1,0\times10^{-2}}=0,1.
  • Logo
\log_{10}\gamma_{\pm} = -0,509\times0,1 = -0,0509.
  • Convertendo para \gamma_{\pm}:
\gamma_{\pm} = 10^{-0,0509}\approx 0,889.
(um cálculo intermédio: 10^{-0,0509}=e^{-0,0509\ln10}=e^{-0,1172}\approx0,889.)

Passo 6

Calcular a atividade do íon hidrogênio e o pH considerando atividade:
  • Atividade:
a_{\mathrm{H}^+} = \gamma_{\pm}\,[\mathrm{H}^+]=0,889\times(1,0\times10^{-2})=8,89\times10^{-3}.
  • pH:
\mathrm{pH} = -\log_{10} a_{\mathrm{H}^+} = -\log_{10}\!\left(8,89\times10^{-3}\right).
Calculemos: \log_{10}(8,89)\approx0,948, e \log_{10}(10^{-3})=-3, então
\mathrm{pH} = -\big(0,948-3\big)=3-0,948=2,052\approx2,05.

Passo 7

Interpretação final e observações úteis para a prova:
  • Resultado numérico: o pH usando concentração pura é 2,00; usando atividade (estimando \gamma_{\pm} por Debye–Hückel) é 2,05.
  • Diferença pequena ( \approx0,05 unidades de pH) porque a solução é relativamente diluída; em concentrações maiores o efeito de atividade cresce.
  • Atenção em provas: sempre declare hipóteses (temperatura, dissociação completa, usar Debye–Hückel) e, se pedirem precisão maior ou outra temperatura, ajuste a constante A ou use tabelas/coeficientes empíricos.

Resposta

pH (desconsiderando atividade) = 2,00
pH (considerando atividade, com Debye–Hückel) = 2,05

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