Calcule o polinômio característico de cada uma das matrizes sobre \mathbb{R}.
A=\left[\begin{array}{ll}0 & 2 \\\\ 1 & 1\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado fornece a matriz A e pede para calcular o polinômio característico dela sobre \mathbb{R}.
  • Matriz dada:
A=\begin{pmatrix}0 & 2\\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}.
  • O que é pedido: determinar o polinômio característico de A, ou seja, a função polinomial p_A(\lambda) associada à matriz.]

Passo 2

Definição e interpretações iniciais (explicação didática).
  • O polinômio característico de uma matriz quadrada A é definido por
p_A(\lambda)=\det\big(A-\lambda I\big),
onde:
  • \lambda é uma variável (normalmente usada para buscar autovalores),
  • I é a matriz identidade do mesmo tamanho de A,
  • \det(\cdot) denota o determinante da matriz.
  • No caso de uma matriz 2\times 2, se
M=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix},
então o determinante é dado por
\det(M)=ad-bc.
Aqui a,b,c,d são as entradas da matriz (cada uma é um número).]

Passo 3

Formar A-\lambda I: subtrai-se \lambda dos elementos da diagonal de A. Assim
A-\lambda I=\begin{pmatrix}0-\lambda & 2\\[4pt] 1 & 1-\lambda\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\lambda & 2\\[4pt] 1 & 1-\lambda\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular o determinante de A-\lambda I usando a fórmula para 2\times2.
  • Aplicando \det\big(\begin{smallmatrix}a&b\\\ c&d\end{smallmatrix}\big)=ad-bc com a=-\lambda, b=2, c=1, d=1-\lambda, obtemos
p_A(\lambda)=\det\big(A-\lambda I\big)=(-\lambda)(1-\lambda)-2\cdot 1.

Passo 5

Desenvolver a expressão algébrica passo a passo.
  • Primeiro multiplicar (-\lambda)(1-\lambda):
(-\lambda)(1-\lambda)=-\lambda+\lambda^2.
  • Subtrair 2:
p_A(\lambda)=-\lambda+\lambda^2-2=\lambda^2-\lambda-2.

Passo 6

Fatoração (útil para ver os autovalores e conferir o resultado).
  • O polinômio \lambda^2-\lambda-2 pode ser fatorado procurando dois números cujo produto seja -2 e soma seja -1. Esses números são -2 e 1. Assim
\lambda^2-\lambda-2=(\lambda-2)(\lambda+1).
  • Isso mostra que os autovalores (raízes) são \lambda=2 e \lambda=-1, conferindo consistência.

Resposta

p_A(\lambda)=\lambda^2-\lambda-2
p_A(\lambda)=(\lambda-2)(\lambda+1)

Exercícios relacionados