Calcule o polinômio característico de cada uma das matrizes sobre
.
.
Passo 1
O enunciado fornece a matriz
e pede para calcular o polinômio característico dela sobre
.
- Matriz dada:
- O que é pedido: determinar o polinômio característico de
, ou seja, a função polinomial associada à matriz.]
Passo 2
Definição e interpretações iniciais (explicação didática).
- O polinômio característico de uma matriz quadrada
é definido por
onde:
-
é uma variável (normalmente usada para buscar autovalores), -
é a matriz identidade do mesmo tamanho de , -
denota o determinante da matriz. -
No caso de uma matriz
, se
então o determinante é dado por
Aqui
são as entradas da matriz (cada uma é um número).]
Passo 3
Formar
: subtrai-se
dos elementos da diagonal de
. Assim
Passo 4
Calcular o determinante de
usando a fórmula para
.
- Aplicando
com , , , , obtemos
Passo 5
Desenvolver a expressão algébrica passo a passo.
- Primeiro multiplicar
:
- Subtrair
:
Passo 6
Fatoração (útil para ver os autovalores e conferir o resultado).
- O polinômio
pode ser fatorado procurando dois números cujo produto seja e soma seja . Esses números são e . Assim
- Isso mostra que os autovalores (raízes) são
e , conferindo consistência.