Exercício 31. Seja
um polinômio, e
, com
invertível. Mostre que
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma identidade clara:
- Foi dado um polinômio
. - Foram dados operadores lineares
e sabe-se que é invertível (ou seja, existe ). - O objetivo é provar a igualdade
Vou listar com clareza o que isso significa:
é o operador obtido ao substituir a variável do polinômio por
(ver definição no Passo 2). O que pedem é mostrar que aplicar o polinômio ao operador conjugado
dá o mesmo que conjugar
por
.
Passo 2
Definições e propriedades básicas que vamos usar (explicadas com calma).
- Se
com , então por definição
onde
é o operador identidade
e
é a composição
(k vezes). Aqui
significa multiplicar o operador
pelo escalar
.
- A operação de composição de operadores é associativa: se
então . - Como
é invertível, existe e satisfaz .
Essas são as ferramentas básicas; vamos usá-las para tratar potências e somas.
Passo 3
Prova da igualdade para monômios
. Primeiro mostramos que, para todo inteiro
,
Esse é o núcleo da prova porque qualquer polinômio é combinação linear de monômios.
Passo 4
Casos base da indução sobre
.
- Para
: Temos . Também . Logo a igualdade vale para . - Para
: , que é igual a . Então vale para .
Passo 5
Passo indutivo: suponha que a igualdade valha para algum
, ou seja, suponha que
Então para
temos, usando associatividade,
Pelo caso indutivo substituímos a primeira parcela:
Agora aplicamos associatividade para agrupar os fatores do meio:
Como
isso vira
Portanto a igualdade vale para
. Assim, por indução, vale para todo
:
Passo 6
Extensão da propriedade para polinômios por linearidade.
Se , então usando a definição de
e a propriedade dos monômios,
Se
Pelo resultado do Passo 5 substituímos cada potência:
Agora usamos distributividade da soma e fatoramos
à esquerda e
à direita (isso é permitido porque produto de operadores é bilinear e associativo):
Mas
. Então obtemos
que é exatamente o que queríamos provar.
Passo 7
Observações finais e intuição (rápida e amigável).
- A prova essencialmente mostra que a operação "conjugar por
", ou seja, , preserva soma, produto e multiplicação por escalares — portanto é um homomorfismo de álgebra. Por isso ela leva em e, por linearidade, leva em . - Assim, sempre que vir uma expressão desse tipo numa prova ou num exercício, dá para lembrar: “conjugar com
passa por dentro do polinômio”.