Exercício 31. Seja p \in \mathcal{P}(\mathbb{F}) um polinômio, e S, T \in \mathcal{L}(V), com S invertível. Mostre que
p\left(S^{-1} T S\right)=S^{-1} p(T) S

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma identidade clara:
  • Foi dado um polinômio p \in \mathcal{P}(\mathbb{F}).
  • Foram dados operadores lineares S,T \in \mathcal{L}(V) e sabe-se que S é invertível (ou seja, existe S^{-1}).
  • O objetivo é provar a igualdade
p\bigl(S^{-1} T S\bigr)=S^{-1} p(T) S.
Vou listar com clareza o que isso significa: p(T) é o operador obtido ao substituir a variável do polinômio por T (ver definição no Passo 2). O que pedem é mostrar que aplicar o polinômio ao operador conjugado S^{-1} T S dá o mesmo que conjugar p(T) por S.

Passo 2

Definições e propriedades básicas que vamos usar (explicadas com calma).
  • Se p(x)=\sum_{k=0}^{m} a_k x^k com a_k\in\mathbb{F}, então por definição
p(T)=\sum_{k=0}^{m} a_k T^k,
onde T^0 é o operador identidade I e T^k é a composição T\circ T\circ\cdots\circ T (k vezes). Aqui a_k T^k significa multiplicar o operador T^k pelo escalar a_k.
  • A operação de composição de operadores é associativa: se A,B,C\in\mathcal{L}(V) então (A B) C = A (B C).
  • Como S é invertível, S^{-1} existe e satisfaz S^{-1}S=SS^{-1}=I.
    Essas são as ferramentas básicas; vamos usá-las para tratar potências e somas.

Passo 3

Prova da igualdade para monômios x^k. Primeiro mostramos que, para todo inteiro k\ge 0,
\bigl(S^{-1} T S\bigr)^k = S^{-1} T^k S.
Esse é o núcleo da prova porque qualquer polinômio é combinação linear de monômios.

Passo 4

Casos base da indução sobre k.
  • Para k=0: Temos \bigl(S^{-1} T S\bigr)^0 = I. Também S^{-1} T^0 S = S^{-1} I S = S^{-1} S = I. Logo a igualdade vale para k=0.
  • Para k=1: \bigl(S^{-1} T S\bigr)^1 = S^{-1} T S, que é igual a S^{-1} T^1 S. Então vale para k=1.

Passo 5

Passo indutivo: suponha que a igualdade valha para algum k\ge1, ou seja, suponha que
\bigl(S^{-1} T S\bigr)^k = S^{-1} T^k S.
Então para k+1 temos, usando associatividade,
\bigl(S^{-1} T S\bigr)^{k+1} = \bigl(S^{-1} T S\bigr)^k \bigl(S^{-1} T S\bigr).
Pelo caso indutivo substituímos a primeira parcela:
\bigl(S^{-1} T S\bigr)^{k+1} = \bigl(S^{-1} T^k S\bigr)\bigl(S^{-1} T S\bigr).
Agora aplicamos associatividade para agrupar os fatores do meio:
\bigl(S^{-1} T^k S\bigr)\bigl(S^{-1} T S\bigr) = S^{-1} T^k \bigl(S S^{-1}\bigr) T S.
Como S S^{-1}=I isso vira
S^{-1} T^k I T S = S^{-1} T^{k+1} S.
Portanto a igualdade vale para k+1. Assim, por indução, vale para todo k\ge0:
\bigl(S^{-1} T S\bigr)^k = S^{-1} T^k S.

Passo 6

Extensão da propriedade para polinômios por linearidade.
Se p(x)=\sum_{k=0}^{m} a_k x^k, então usando a definição de p e a propriedade dos monômios,
p\bigl(S^{-1} T S\bigr) = \sum_{k=0}^{m} a_k \bigl(S^{-1} T S\bigr)^k.
Pelo resultado do Passo 5 substituímos cada potência:
p\bigl(S^{-1} T S\bigr) = \sum_{k=0}^{m} a_k \bigl(S^{-1} T^k S\bigr).
Agora usamos distributividade da soma e fatoramos S^{-1} à esquerda e S à direita (isso é permitido porque produto de operadores é bilinear e associativo):
\sum_{k=0}^{m} a_k \bigl(S^{-1} T^k S\bigr) = S^{-1}\!\left(\sum_{k=0}^{m} a_k T^k\right) S.
Mas \sum_{k=0}^{m} a_k T^k = p(T). Então obtemos
p\bigl(S^{-1} T S\bigr)=S^{-1} p(T) S,
que é exatamente o que queríamos provar.

Passo 7

Observações finais e intuição (rápida e amigável).
  • A prova essencialmente mostra que a operação "conjugar por S", ou seja, A\mapsto S^{-1} A S, preserva soma, produto e multiplicação por escalares — portanto é um homomorfismo de álgebra. Por isso ela leva T^k em \bigl(S^{-1} T S\bigr)^k e, por linearidade, leva p(T) em p(S^{-1} T S).
  • Assim, sempre que vir uma expressão desse tipo numa prova ou num exercício, dá para lembrar: “conjugar com S passa por dentro do polinômio”.

Resposta

p\bigl(S^{-1} T S\bigr)=S^{-1} p(T) S

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