Exercício 27. Suponha que T \in \mathcal{L}(V) e que (T-2 I)(T-3 I)(T-4 I)=0. Suponha que \lambda é autovalor de T. Mostre que \lambda \in\{2,3,4\}.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • T\in\mathcal{L}(V) é um operador linear em um espaço vetorial V.
  • Vale a igualdade de operadores (T-2I)(T-3I)(T-4I)=0, isto é, o produto desses três operadores é o operador nulo.
  • Sabe-se que \lambda é autovalor de T.
O que o exercício pede: mostrar que \lambda necessariamente pertence ao conjunto \{2,3,4\}.

Passo 2

Recordando a definição de autovalor/autovetor (passo didático): dizer que \lambda é autovalor de T significa que existe um vetor não-nulo v\in V tal que
T v = \lambda v.
Esse vetor v é chamado de autovetor associado a \lambda. Aqui, explicito que v\neq 0 porque, por definição, autovetor não pode ser o vetor nulo.

Passo 3

Vamos usar a propriedade de operadores lineares aplicado a autovetores para fatores lineares do tipo (T-aI). Se T v = \lambda v então, para qualquer escalar a,
(T-aI)v = T v - a I v = \lambda v - a v = (\lambda-a)v.
Ou seja, cada operador T-aI atua sobre o autovetor v apenas multiplicando-o pelo escalar (\lambda-a). Isto é uma propriedade básica e muito útil: fatores lineares de T transformam autovetores em escalares vezes o mesmo autovetor.

Passo 4

Agora aplicamos o operador dado (T-2I)(T-3I)(T-4I) ao autovetor v. Usando a observação do passo anterior, o produto de operadores age como o produto dos escalares correspondentes:
\bigl((T-2I)(T-3I)(T-4I)\bigr)v = (T-2I)\bigl((T-3I)(T-4I)v\bigr).
Primeiro calculemos (T-4I)v = (\lambda-4)v. Em seguida,
(T-3I)\bigl((T-4I)v\bigr) = (T-3I)\bigl((\lambda-4)v\bigr) = (\lambda-4)\,(T-3I)v = (\lambda-4)(\lambda-3)v.
Finalmente,
(T-2I)\bigl((T-3I)(T-4I)v\bigr) = (T-2I)\bigl((\lambda-4)(\lambda-3)v\bigr) = (\lambda-4)(\lambda-3)(T-2I)v = (\lambda-4)(\lambda-3)(\lambda-2)v.
Portanto chegamos à igualdade em bloco:
\bigl((T-2I)(T-3I)(T-4I)\bigr)v = (\lambda-2)(\lambda-3)(\lambda-4)\,v.

Passo 5

Pelo enunciado sabemos que (T-2I)(T-3I)(T-4I)=0 como operador. Aplicando o operador nulo ao vetor v obtemos o vetor nulo:
0 = \bigl((T-2I)(T-3I)(T-4I)\bigr)v.
Combinar isso com o resultado do passo anterior dá
0 = (\lambda-2)(\lambda-3)(\lambda-4)\,v.
Como v\neq 0, a única forma de um escalar multiplicado por v ser o vetor nulo é que o escalar seja zero. (Explicação rápida: se c v = 0 com v\neq 0, então c=0 porque as componentes em alguma base não podem anular-se exceto com c=0.)

Passo 6

Portanto
(\lambda-2)(\lambda-3)(\lambda-4)=0.
Isto implica que pelo menos um dos fatores é zero, ou seja \lambda-2=0 ou \lambda-3=0 ou \lambda-4=0. Assim concluímos que
\lambda\in\{2,3,4\}.

Resposta

\lambda\in\{2,3,4\}

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