Exercício 27. Suponha que
e que
. Suponha que
é autovalor de
. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações:
-
é um operador linear em um espaço vetorial . - Vale a igualdade de operadores
, isto é, o produto desses três operadores é o operador nulo. - Sabe-se que
é autovalor de .
O que o exercício pede: mostrar que
necessariamente pertence ao conjunto
.
Passo 2
Recordando a definição de autovalor/autovetor (passo didático): dizer que
é autovalor de
significa que existe um vetor não-nulo
tal que
Esse vetor
é chamado de autovetor associado a
. Aqui, explicito que
porque, por definição, autovetor não pode ser o vetor nulo.
Passo 3
Vamos usar a propriedade de operadores lineares aplicado a autovetores para fatores lineares do tipo
. Se
então, para qualquer escalar
,
Ou seja, cada operador
atua sobre o autovetor
apenas multiplicando-o pelo escalar
. Isto é uma propriedade básica e muito útil: fatores lineares de
transformam autovetores em escalares vezes o mesmo autovetor.
Passo 4
Agora aplicamos o operador dado
ao autovetor
. Usando a observação do passo anterior, o produto de operadores age como o produto dos escalares correspondentes:
Primeiro calculemos
. Em seguida,
Finalmente,
Portanto chegamos à igualdade em bloco:
Passo 5
Pelo enunciado sabemos que
como operador. Aplicando o operador nulo ao vetor
obtemos o vetor nulo:
Combinar isso com o resultado do passo anterior dá
Como
, a única forma de um escalar multiplicado por
ser o vetor nulo é que o escalar seja zero. (Explicação rápida: se
com
, então
porque as componentes em alguma base não podem anular-se exceto com
.)
Passo 6
Portanto
Isto implica que pelo menos um dos fatores é zero, ou seja
ou
ou
. Assim concluímos que