Calcule o polinômio de Taylor de primeira ordem para
f(x, y)=x y^{2}+e^{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor de primeira ordem (aproximação linear) de f(x,y)=x\,y^{2}+e^{\,x^{2}+y^{2}}
em torno do ponto (0,0). Vamos usar a fórmula
P_{1}(x,y)=f(0,0)+f_{x}(0,0)\,x+f_{y}(0,0)\,y.

Passo 2

Calcular f(0,0). Temos
f(0,0)=0\cdot0^{2}+e^{0^{2}+0^{2}}=e^{0}=1.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais gerais.
f_{x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x\,y^{2}\bigr)+\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{x^{2}+y^{2}}\bigr) =y^{2}+e^{x^{2}+y^{2}}\cdot2x
f_{y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x\,y^{2}\bigr)+\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{x^{2}+y^{2}}\bigr) =2x\,y+e^{x^{2}+y^{2}}\cdot2y

Passo 4

Avaliar as derivadas em (0,0):
f_{x}(0,0)=y^{2}\bigl|_{(0,0)}+e^{0}\cdot2\cdot0=0+0=0,
f_{y}(0,0)=2\cdot0\cdot0+e^{0}\cdot2\cdot0=0+0=0.

Passo 5

Montar o polinômio de Taylor de primeira ordem:
P_{1}(x,y)=1+0\cdot x+0\cdot y=1.

Resposta

P_{1}(x,y)=1

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