Calcule os polos e a RoC de
.Em seguida, calcule a sua transformada inversa
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (a) encontrar os polos de
e a respectiva Região de Convergência (RoC), e depois (b) calcular a transformada inversa
.
Conteúdo envolvido: fatoração de polinômios (para achar polos), definição de RoC (assumindo sequência causal), decomposição em frações parciais e uso da tabela básica de Z-transformada (especialmente
).
Conteúdo envolvido: fatoração de polinômios (para achar polos), definição de RoC (assumindo sequência causal), decomposição em frações parciais e uso da tabela básica de Z-transformada (especialmente
Passo 2
Primeiro, fatoramos o denominador para achar os polos:
Logo os polos são
Se a sequência for causal (começa em
), a RoC é “fora do polo de maior módulo”, ou seja
Passo 3
Agora a gente faz fração parcial em
:
Multiplicando tudo por
dá
Comparando coeficientes de
e de termo constante:
Da primeira eq.
. Substituindo na segunda:
e então
.
Logo
Logo
Passo 4
Para inverter, usamos o fato de que, para uma sequência causal,
Precisamos reescrever cada termo no formato “constante sobre
”. Note que
Aplicando isso:
Detalhe: o fator
desloca a sequência de
para
.
Passo 5
Somando as duas partes, a inversa é
Em outras palavras, para
vale zero, e para
vale
.
Resposta
Polos:
e
.
RoC (assumindo causalidade): .
Transformada inversa:
RoC (assumindo causalidade):
Transformada inversa: