Calcule os polos e a RoC de X(z).Em seguida, calcule a sua transformada inversa
X(z)=8 z-19z^2-5 z+6

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) encontrar os polos de
X(z)=8z-19z^2-5z+6
e a respectiva Região de Convergência (RoC), e depois (b) calcular a transformada inversa .
Conteúdo envolvido: fatoração de polinômios (para achar polos), definição de RoC (assumindo sequência causal), decomposição em frações parciais e uso da tabela básica de Z-transformada (especialmente
).

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador para achar os polos:
z^2 -5z +6 = (z-2)(z-3)
Logo os polos são
z=2 e z=3
Se a sequência for causal (começa em RoC: |z|>3 ), a RoC é “fora do polo de maior módulo”, ou seja

Passo 3

Agora a gente faz fração parcial em 8z-19(z-2)(z-3) = Az-2 + Bz-3 :
8z-19 = A(z-3) + B(z-2)
Multiplicando tudo por coef de z: &8 = A + B, constante: &-19 = -3A -2B
-19 = -3A -2(8-A) = -3A -16 +2A = -(A+16) ;Longrightarrow;A+16=19 ;Longrightarrow;A=3,
Comparando coeficientes de X(z)=3z-2 + 5z-3 e de termo constante:
Da primeira eq. . Substituindo na segunda:
e então .
Logo

Passo 4

Para inverter, usamos o fato de que, para uma sequência causal,
11 - a,z^-1 long<=ftrightarrow a^n,u[n], |z|>|a|
Precisamos reescrever cada termo no formato “constante sobre 1z - a = z^-11 - a,z^-1 Longrightarrow Cz - a = C,z^-1,11 - a,z^-1 ”. Note que
3z-2 =3,z^-1,11 - 2,z^-1 long<=ftrightarrow 3cdot 2^,n-1,u[n-1],
Aplicando isso:
5z-3 =5,z^-1,11 - 3,z^-1 long<=ftrightarrow 5cdot 3^,n-1,u[n-1]
Detalhe: o fator desloca a sequência de para .

Passo 5

Somando as duas partes, a inversa é
x[n] =3cdot 2^,n-1,u[n-1] +5cdot 3^,n-1,u[n-1]
Em outras palavras, para vale zero, e para vale .

Resposta

Polos: x[n]= 0, & n<1, 3cdot2^,n-1+5cdot3^,n-1, & n>=1 e .
RoC (assumindo causalidade): .
Transformada inversa:

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