Encontre a transformada inversa de x(z), cuja RoC é |z|>2
X(z)=z(z 13)(z-1)(z+2)

Passo 1

O exercício pede pra gente encontrar a transformada inversa de
X(z) ;=;z,(z/3)(z-1)(z+2)
sabendo que a região de convergência é .
Conteúdo: Transformada Z inversa, frações parciais, séries em potências de .
O que vamos precisar:
  • Fazer divisão de polinômios se o grau do numerador ≥ grau do denominador;
  • Decompor em frações parciais;
  • Usar desenvolvimentos em série de para ;
  • Conhecer as correspondências básicas de pares Z e sinais no tempo.

Passo 2

Primeiro, simplifica a expressão do numerador:
z,(z/3)=13;z^2
Então
X(z)=tfrac13,z^2(z-1)(z+2) =13,z^2z^2+z-2

Passo 3

Como o grau do numerador (2) é igual ao grau do denominador (2), fazemos divisão de polinômios:
z^2z^2+z-2 =1;+;z^2-(z^2+z-2)z^2+z-2 =1;+;-z+2(z-1)(z+2) =1;-;z-2(z-1)(z+2)
Logo
X(z)=13l[,1;-;z-2(z-1)(z+2)r]

Passo 4

Agora decompondo a parte z-2(z-1)(z+2)=Az-1+Bz+2 em frações parciais:
z-2 = A(z+2)+B(z-1)
Multiplicando tudo por z-2(z-1)(z+2) =-13,1z-1 +43,1z+2 :
Escolhendo valores fáceis:
  • Para : .
  • Para :
    Então

Passo 5

Substitui de volta em X(z) =13l[,1 ;-;l(-tfrac131z-1+tfrac431z+2r)r] =13+19,1z-1-49,1z+2 :

Passo 6

Agora usamos séries em potências de 1z-a =1z;11-(a/z) =sumk=0^inftya^k,z^-(k+1), |z|>|a| , válidas para . Lembre que
Como a RoC é , vale para e .
  • coeficiente de é 1 para , e zero para .
  • coeficiente de é para , e zero para .
  • A constante em corresponde a .

Resposta

Logo a sequência inversa x[n]= dfrac13, & n=0,[6pt] dfrac19;-;dfrac49,l(-2r)^,n-1, & n>=1, 0,& n<0 é

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