Dado X(z)=z^2(z-1)(z-2). Qual a RDC e o sinal x[n] ?

Passo 1

O enunciado pede: dado
X(z)=z^2(z-1)(z-2),
queremos achar a Região de Convergência (RDC ou ROC) e o sinal no tempo .
Conteúdo da matéria: transformada Z, divisão polinomial, frações parciais, tabela de transformadas Z e conceito de ROC para sinais causais.
O que vamos precisar:
  1. transformar o numerador para ter grau menor que o denominador (divisão polinomial),
  2. decompor em frações parciais,
  3. usar a tabela e ,
  4. escolher a ROC (a gente assume sinal causal, então ROC externa ao maior polo).

Passo 2

Primeiro, fazemos divisão polinomial de
z^2z^2-3z+2
para escrever X(z)=1+3z-2(z-1)(z-2) como uma parte inteira mais resto.
– Dividindo, e resto .
Logo

Passo 3

Agora decompondo o trecho 3z-2(z-1)(z-2)=Az-1+Bz-2 em frações parciais:
3z-2 = A(z-2)+B(z-1) = (A+B)z - (2A+B)
Multiplicando em cima e em baixo:
A+B=3, -2A - B = -2 ;Longrightarrow;2A+B=2
Comparando coeficientes:
3z-2(z-1)(z-2) =-1z-1+4z-2
Daí X(z)=1 - 1z-1 + 4z-2 e . Então
Assim

Passo 4

Agora aplicamos a tabela de transformadas Z (assumindo -1z-1;long<=ftrightarrow;-,1^,n-1u[n-1] = -u[n-1], 4z-2;long<=ftrightarrow;4cdot2^,n-1u[n-1] causal, ROC externa):
  1. x[n] = de.
  2. para ROC .
Logo
Somando tudo:

Passo 5

Para convergir cada termo da inversa de Z, precisamos de boxedROC: |z|>2 (do polo em 1) e (do polo em 2). Quem “manda” é o maior polo, então a ROC, assumindo sinal causal, é

Resposta

ROC: |z|>2, x[n]=de

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