Q7: Calcule o ponto de interseção (
) das retas tangentes às funções
, em
, e
, em
. Assinale o valor de
:
(A)
(B)
(C) 26
(D) -10
(E) Não sei
(A)
(B)
(C) 26
(D) -10
(E) Não sei
Passo 1
O enunciado pede o ponto de interseção
das retas tangentes às funções dadas nos pontos indicados, e depois pede o valor de
. As informações do enunciado são:
- Função
com o ponto de tangência . - Função
com o ponto de tangência .
O objetivo final é calcular(uma única quantidade numérica).
Passo 2
Entendendo o que é necessário: a reta tangente a uma função em um ponto tem inclinação igual à derivada da função naquele ponto. Vou lembrar e aplicar isso:
- A derivada
representa a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente à curva no ponto de abscissa . - Para polinômios simples podemos derivar usando regras básicas (derivada de
é ).
Calculemos as derivadas e as inclinações nos pontos dados:
- Para
vale . No ponto :
Logo a inclinação da tangente a
em
é
.
- Para
vale . No ponto :
Logo a inclinação da tangente a
em
é
.
Passo 3
Agora vamos escrever as equações das retas tangentes usando a forma ponto-inclinação da reta. A fórmula ponto-inclinação é:
onde
é a inclinação e
é o ponto por onde a reta passa.
Para a tangente de
em
com inclinação
:
Desenvolvendo:
Para a tangente de
em
com inclinação
:
Desenvolvendo:
Passo 4
O ponto de interseção
satisfaz ambas as equações de reta. Então igualamos as duas expressões de
:
Vamos resolver passo a passo:
Passo 5
Com
encontramos
substituindo em uma das retas, por exemplo em
:
Passo 6
Finalmente somamos as coordenadas: