Q7: Calcule o ponto de interseção ( x_{T}, y_{T} ) das retas tangentes às funções f(x)=x^{2}, em (-1,1), e g(x)=x^{3}, em (1,1). Assinale o valor de x_{T}+y_{T} :
(A) -\frac{2}{5}
(B) -\frac{6}{5}
(C) 26
(D) -10
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado pede o ponto de interseção (x_{T},y_{T}) das retas tangentes às funções dadas nos pontos indicados, e depois pede o valor de x_{T}+y_{T}. As informações do enunciado são:
  • Função f(x)=x^{2} com o ponto de tangência (-1,1).
  • Função g(x)=x^{3} com o ponto de tangência (1,1).
    O objetivo final é calcular x_{T}+y_{T} (uma única quantidade numérica).

Passo 2

Entendendo o que é necessário: a reta tangente a uma função em um ponto tem inclinação igual à derivada da função naquele ponto. Vou lembrar e aplicar isso:
  • A derivada f'(x) representa a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente à curva y=f(x) no ponto de abscissa x.
  • Para polinômios simples podemos derivar usando regras básicas (derivada de x^{n} é n x^{n-1}).
Calculemos as derivadas e as inclinações nos pontos dados:
  • Para f(x)=x^{2} vale \,f'(x)=2x. No ponto x=-1:
f'(-1)=2\cdot(-1)=-2.
Logo a inclinação da tangente a f em (-1,1) é -2.
  • Para g(x)=x^{3} vale \,g'(x)=3x^{2}. No ponto x=1:
g'(1)=3\cdot1^{2}=3.
Logo a inclinação da tangente a g em (1,1) é 3.

Passo 3

Agora vamos escrever as equações das retas tangentes usando a forma ponto-inclinação da reta. A fórmula ponto-inclinação é:
y-y_{0}=m(x-x_{0}),
onde m é a inclinação e (x_{0},y_{0}) é o ponto por onde a reta passa.
Para a tangente de f em (-1,1) com inclinação m=-2:
y-1 = -2\bigl(x-(-1)\bigr)= -2(x+1).
Desenvolvendo:
y-1 = -2x-2 \quad\Rightarrow\quad y = -2x-1.
Para a tangente de g em (1,1) com inclinação m=3:
y-1 = 3(x-1).
Desenvolvendo:
y-1 = 3x-3 \quad\Rightarrow\quad y = 3x-2.

Passo 4

O ponto de interseção (x_{T},y_{T}) satisfaz ambas as equações de reta. Então igualamos as duas expressões de y:
-2x-1 = 3x-2.
Vamos resolver passo a passo:
-2x-1 = 3x-2 \quad\Rightarrow\quad -1+2 = 3x+2x
1 = 5x \quad\Rightarrow\quad x = \frac{1}{5}.

Passo 5

Com x_{T}=\dfrac{1}{5} encontramos y_{T} substituindo em uma das retas, por exemplo em y=3x-2:
y_{T} = 3\cdot\frac{1}{5}-2 = \frac{3}{5}-\frac{10}{5} = -\frac{7}{5}.

Passo 6

Finalmente somamos as coordenadas:
x_{T}+y_{T} = \frac{1}{5} + \left(-\frac{7}{5}\right) = -\frac{6}{5}.

Resposta

-\dfrac{6}{5}

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