Q8: Os polinômios p(x)=3 x^{3}-3 x+3 e q(x)=2 x^{3}+x^{2}- 2 x+2 se tangenciam, sem se cruzar, em um ponto ( x_{T}, y_{T} ). Assinale o valor de x_{T}+y_{T} : b) 1 c) 4 d) 3 e) Não sei a) 2

Passo 1

O enunciado dá dois polinômios e diz que eles se tangenciam (tocam) num ponto (x_{T},y_{T}) sem se cruzar. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido:
  • Polinômio p(x)=3x^{3}-3x+3.
  • Polinômio q(x)=2x^{3}+x^{2}-2x+2.
  • Há tangência em um único ponto (x_{T},y_{T}) (isto é, os gráficos têm um ponto de contato, sem se cruzar).
  • O que pedir: calcular o valor de x_{T}+y_{T}.

Passo 2

Entendendo o que significa “tangenciam, sem se cruzar” em termos algébricos (mini-aula curta):
  • Se dois funções p e q são tangentes em x_{T}, então elas têm o mesmo valor aí e a mesma inclinação (derivada) aí. Ou seja,
p(x_{T})=q(x_{T}) \qquad\text{e}\qquad p'(x_{T})=q'(x_{T}).
  • Outra forma equivalente (muito útil para polinômios): considere r(x)=p(x)-q(x). Então r(x_{T})=0 e r'(x_{T})=0. Isso significa que x_{T} é uma raiz de multiplicidade pelo menos 2 de r. Em termos práticos: procurar uma raiz dupla de r dá diretamente x_{T}.

Passo 3

Formar o polinômio diferença r(x)=p(x)-q(x) e simplificar (aqui cada passo de conta):
r(x)=p(x)-q(x)=(3x^{3}-3x+3)-(2x^{3}+x^{2}-2x+2).
Agora subtrair termo a termo:
r(x)=(3x^{3}-2x^{3}) + (0x^{2}-x^{2}) + (-3x+2x) + (3-2).
r(x)=x^{3}-x^{2}-x+1.

Passo 4

Fatorar r(x). Vou usar agrupamento (passo a passo):
r(x)=x^{3}-x^{2}-x+1 = x^{2}(x-1)-1(x-1).
Colocando em evidência (x-1):
r(x)=(x-1)(x^{2}-1).
E x^{2}-1 é uma diferença de quadrados, então
r(x)=(x-1)(x-1)(x+1)=(x-1)^{2}(x+1).

Passo 5

Da fatoração concluímos que r tem raiz dupla em x=1 (e raiz simples em x=-1). A raiz dupla é o ponto de tangência desejado, então
x_{T}=1.
Comentário rápido de interpretação: raiz dupla significa que r(x_{T})=0 e r'(x_{T})=0, ou seja p e q têm mesmo valor e mesma derivada em x_{T} — exatamente a condição de tangência.

Passo 6

Calcular y_{T} usando um dos polinômios (os dois devem dar o mesmo valor). Usar p(1):
p(1)=3\cdot1^{3}-3\cdot1+3=3-3+3=3.
Logo
y_{T}=3.

Passo 7

Calcular a soma pedida:
x_{T}+y_{T}=1+3=4.
Verificação opcional (curtinha): checar derivadas em x=1.
p'(x)=9x^{2}-3,\qquad q'(x)=6x^{2}+2x-2.
Avaliar em x=1:
p'(1)=9-3=6,\qquad q'(1)=6+2-2=6,
confirmando que as derivadas coincidem em 1, consistente com tangência.

Resposta

4

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