Q8: Os polinômios
e
se tangenciam, sem se cruzar, em um ponto (
). Assinale o valor de
: b) 1 c) 4 d) 3 e) Não sei a) 2
Passo 1
O enunciado dá dois polinômios e diz que eles se tangenciam (tocam) num ponto
sem se cruzar. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido:
- Polinômio
. - Polinômio
. - Há tangência em um único ponto
(isto é, os gráficos têm um ponto de contato, sem se cruzar). - O que pedir: calcular o valor de
.
Passo 2
Entendendo o que significa “tangenciam, sem se cruzar” em termos algébricos (mini-aula curta):
- Se dois funções
e são tangentes em , então elas têm o mesmo valor aí e a mesma inclinação (derivada) aí. Ou seja,
- Outra forma equivalente (muito útil para polinômios): considere
. Então e . Isso significa que é uma raiz de multiplicidade pelo menos de . Em termos práticos: procurar uma raiz dupla de dá diretamente .
Passo 3
Formar o polinômio diferença
e simplificar (aqui cada passo de conta):
Agora subtrair termo a termo:
Passo 4
Fatorar
. Vou usar agrupamento (passo a passo):
Colocando em evidência
:
E
é uma diferença de quadrados, então
Passo 5
Da fatoração concluímos que
tem raiz dupla em
(e raiz simples em
). A raiz dupla é o ponto de tangência desejado, então
Comentário rápido de interpretação: raiz dupla significa que
e
, ou seja
e
têm mesmo valor e mesma derivada em
— exatamente a condição de tangência.
Passo 6
Calcular
usando um dos polinômios (os dois devem dar o mesmo valor). Usar
:
Logo
Passo 7
Calcular a soma pedida:
Verificação opcional (curtinha): checar derivadas em
.
Avaliar em
:
confirmando que as derivadas coincidem em
, consistente com tangência.
Resposta
4