Calcule os pontos de inflexão (se existirem) da função
Passo 1
O enunciado pede: "Calcule os pontos de inflexão (se existirem) da função
Informações dadas importantes:
- Domínio implícito: todos os números reais (é um polinômio).
- Não há restrição no enunciado, então estamos procurando pontos
onde a concavidade da curva muda (pontos de inflexão).
A partir daqui vamos aplicar a definição e as ferramentas de derivadas para testar concavidade.
Passo 2
O que é um ponto de inflexão (explicação didática)?
- Intuitivamente, um ponto de inflexão é um ponto onde a curva muda de “côncava para cima” para “côncava para baixo” ou vice-versa.
- Uma forma prática (a que se usa na prova): se a função for duas vezes diferenciável, um candidato a inflexão é um ponto onde a segunda derivada é zero ou não está definida; mas para ser efetivamente ponto de inflexão é necessário que a segunda derivada mude de sinal passando por esse ponto.
Vou usar isso: calcular, encontrar onde ela é zero, e verificar se há troca de sinal.
Passo 3
Calcule a primeira derivada (lembrando a regra:
e
):
Aplicando termo a termo,
Expliquei: de
vem
; de
vem
.
Passo 4
Calcule a segunda derivada (derivada de
):
Derivando,
Observação:
é uma função simples, sempre não negativa, pois é
vezes um quadrado.
Passo 5
Encontre os candidatos resolvendo
:
Então
é o único ponto onde a segunda derivada é zero; é o único candidato a ponto de inflexão.
Passo 6
Verifique se há mudança de sinal de
ao passar por
. Para isso basta observar a forma de
ou testar valores à esquerda e à direita.
- Forma:
para todo , e somente em . Como é sempre não negativo, a segunda derivada nunca fica negativa. Logo não há troca de sinal. - Teste numérico rápido para ficar claro:
e . Ambos positivos, sem mudança de sinal.
Passo 7
Comentário sobre o teste com derivadas de ordem superior (para compreensão): às vezes, se
e
, isso indica que
muda de sinal (ex.:
tem
, que muda de sinal em
). Aqui, calculemos a terceira derivada apenas para ver:
então
. Isso significa que o teste da terceira derivada não nos dá mudança de sinal automática — e de fato não há mudança de concavidade.
Passo 8
Conclusão final do raciocínio: há um ponto candidato
onde
, mas a segunda derivada não muda de sinal ao atravessá-lo (fica positiva de ambos os lados). Portanto não ocorre mudança de concavidade e, por isso, não existe ponto de inflexão para
.
Resposta
Não existem pontos de inflexão.