Calcule os pontos de inflexão (se existirem) da função
p(x)=x^{4}-4 x

Passo 1

O enunciado pede: "Calcule os pontos de inflexão (se existirem) da função
p(x)=x^{4}-4 x
Informações dadas importantes:
p(x)=x^{4}-4x
  • Domínio implícito: todos os números reais (é um polinômio).
  • Não há restrição no enunciado, então estamos procurando pontos x\in\mathbb{R} onde a concavidade da curva muda (pontos de inflexão).
    A partir daqui vamos aplicar a definição e as ferramentas de derivadas para testar concavidade.

Passo 2

O que é um ponto de inflexão (explicação didática)?
  • Intuitivamente, um ponto de inflexão é um ponto onde a curva muda de “côncava para cima” para “côncava para baixo” ou vice-versa.
  • Uma forma prática (a que se usa na prova): se a função for duas vezes diferenciável, um candidato a inflexão é um ponto onde a segunda derivada é zero ou não está definida; mas para ser efetivamente ponto de inflexão é necessário que a segunda derivada mude de sinal passando por esse ponto.
    Vou usar isso: calcular p''(x), encontrar onde ela é zero, e verificar se há troca de sinal.

Passo 3

Calcule a primeira derivada (lembrando a regra: \dfrac{d}{dx} x^{n}=n x^{n-1} e \dfrac{d}{dx}(a x)=a):
p(x)=x^{4}-4x
Aplicando termo a termo,
p'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{4}\bigr)-\frac{d}{dx}\bigl(4x\bigr)=4x^{3}-4.
Expliquei: de x^{4} vem 4x^{3}; de -4x vem -4.

Passo 4

Calcule a segunda derivada (derivada de p'(x)):
p'(x)=4x^{3}-4
Derivando,
p''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(4x^{3}\bigr)-\frac{d}{dx}(4)=12x^{2}-0=12x^{2}.
Observação: p''(x) é uma função simples, sempre não negativa, pois é 12 vezes um quadrado.

Passo 5

Encontre os candidatos resolvendo \;p''(x)=0\;:
12x^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0.
Então x=0 é o único ponto onde a segunda derivada é zero; é o único candidato a ponto de inflexão.

Passo 6

Verifique se há mudança de sinal de p''(x) ao passar por x=0. Para isso basta observar a forma de p''(x) ou testar valores à esquerda e à direita.
  • Forma: \;p''(x)=12x^{2}\ge 0 para todo x, e \;p''(x)=0 somente em x=0. Como x^{2} é sempre não negativo, a segunda derivada nunca fica negativa. Logo não há troca de sinal.
  • Teste numérico rápido para ficar claro: \;p''(-1)=12(-1)^{2}=12>0 e \;p''(1)=12(1)^{2}=12>0. Ambos positivos, sem mudança de sinal.

Passo 7

Comentário sobre o teste com derivadas de ordem superior (para compreensão): às vezes, se p''(a)=0 e p^{(3)}(a)\neq 0, isso indica que p'' muda de sinal (ex.: x^{3} tem f''(x)=6x, que muda de sinal em 0). Aqui, calculemos a terceira derivada apenas para ver:
p^{(3)}(x)=\frac{d}{dx}(12x^{2})=24x,
então p^{(3)}(0)=0. Isso significa que o teste da terceira derivada não nos dá mudança de sinal automática — e de fato não há mudança de concavidade.

Passo 8

Conclusão final do raciocínio: há um ponto candidato x=0 onde p''(0)=0, mas a segunda derivada não muda de sinal ao atravessá-lo (fica positiva de ambos os lados). Portanto não ocorre mudança de concavidade e, por isso, não existe ponto de inflexão para p(x).

Resposta

Não existem pontos de inflexão.

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