Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da função
g(x)=x^{4}-4 x^{2}

Passo 1

O enunciado dá a função
g(x)=x^{4}-4x^{2}
e pede para determinar os intervalos de crescimento e decrescimento dessa função.
Informações relevantes fornecidas: a função g está definida para todo x\in\mathbb{R} e temos a expressão explícita de g(x). A tarefa é identificar onde g cresce (aumenta) e onde g decresce (diminui) ao longo da reta real.

Passo 2

Conceito importante que vamos usar (explicação didática): a derivada de uma função em um ponto nos dá a inclinação da reta tangente à curva naquele ponto. De forma prática para testes de monotonicidade:
  • Se g'(x)>0 em um intervalo, então g é crescente nesse intervalo.
  • Se g'(x)<0 em um intervalo, então g é decrescente nesse intervalo.
    Aqui g'(x) significa a derivada de g em relação a x.

Passo 3

Vamos calcular a derivada. Usamos regras básicas de derivação: a derivada de x^{n} é n x^{n-1}. Aplicando a cada termo de g(x):
g(x)=x^{4}-4x^{2}
g'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{4}\bigr)-4\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=4x^{3}-8x.
Eu expliquei: derivei x^{4} para obter 4x^{3} e derivei x^{2} para obter 2x, multiplicando por -4 deu -8x.

Passo 4

Agora vamos factorizar g'(x) para encontrar os pontos críticos (onde g'(x)=0):
g'(x)=4x^{3}-8x.
Fator comum 4x:
g'(x)=4x\bigl(x^{2}-2\bigr).
Reconhecendo x^{2}-2 como diferença, podemos escrever:
g'(x)=4x\bigl(x-\sqrt{2}\bigr)\bigl(x+\sqrt{2}\bigr).
Os zeros de g' são os valores de x que anulam cada fator:
x=0,\quad x=\sqrt{2},\quad x=-\sqrt{2}.

Passo 5

Precisamos estudar o sinal de g'(x) nas regiões determinadas pelos pontos críticos. Essas regiões são:
(-\infty,-\sqrt{2}),\;(-\sqrt{2},0),\;(0,\sqrt{2}),\;(\sqrt{2},\infty).
Em cada intervalo, o sinal de g'(x) é o produto dos sinais dos fatores 4x, \bigl(x-\sqrt{2}\bigr) e \bigl(x+\sqrt{2}\bigr). O fator constante 4 é sempre positivo e não altera o sinal. Vamos analisar rapidamente fator a fator:
  • Para x<-\sqrt{2}: x é negativo \Rightarrow 4x<0. x-\sqrt{2}<0. x+\sqrt{2}<0. Produto de sinais: (-)\cdot(-)\cdot(-)=(-). Logo g'(x)<0 em (-\infty,-\sqrt{2}).
  • Para -\sqrt{2}<x<0: x é negativo \Rightarrow 4x<0. x-\sqrt{2}<0. x+\sqrt{2}>0. Produto: (-)\cdot(-)\cdot(+)= (+). Logo g'(x)>0 em (-\sqrt{2},0).
  • Para 0<x<\sqrt{2}: x é positivo \Rightarrow 4x>0. x-\sqrt{2}<0. x+\sqrt{2}>0. Produto: (+)\cdot(-)\cdot(+)=(-). Logo g'(x)<0 em (0,\sqrt{2}).
  • Para x>\sqrt{2}: todos os fatores (exceto o 4) são positivos, então o produto é positivo. Logo g'(x)>0 em (\sqrt{2},\infty).

Passo 6

Interpretação final (didática e motivacional): onde g'(x)>0 a função cresce; onde g'(x)<0 ela decresce. Usando a análise do passo anterior, concluímos os intervalos de crescimento e decrescimento. Além disso, note que em x=-\sqrt{2} e x=\sqrt{2} a derivada muda de negativa para positiva, sinal típico de mínimo local, e em x=0 muda de positiva para negativa, sinal típico de máximo local — isso é um bônus útil para entender o formato da curva.

Resposta

Crescimento: (-\sqrt{2},0)\cup(\sqrt{2},\infty)
Decrescimento: (-\infty,-\sqrt{2})\cup(0,\sqrt{2})

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