Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da função
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar os intervalos de crescimento e decrescimento dessa função.
Informações relevantes fornecidas: a função está definida para todo
e temos a expressão explícita de
. A tarefa é identificar onde
cresce (aumenta) e onde
decresce (diminui) ao longo da reta real.
Informações relevantes fornecidas: a função
Passo 2
Conceito importante que vamos usar (explicação didática): a derivada de uma função em um ponto nos dá a inclinação da reta tangente à curva naquele ponto. De forma prática para testes de monotonicidade:
- Se
em um intervalo, então é crescente nesse intervalo. - Se
em um intervalo, então é decrescente nesse intervalo.
Aquisignifica a derivada de em relação a .
Passo 3
Vamos calcular a derivada. Usamos regras básicas de derivação: a derivada de
é
. Aplicando a cada termo de
:
Eu expliquei: derivei
para obter
e derivei
para obter
, multiplicando por
deu
.
Passo 4
Agora vamos factorizar
para encontrar os pontos críticos (onde
):
Fator comum
:
Reconhecendo
como diferença, podemos escrever:
Os zeros de
são os valores de
que anulam cada fator:
Passo 5
Precisamos estudar o sinal de
nas regiões determinadas pelos pontos críticos. Essas regiões são:
Em cada intervalo, o sinal de
é o produto dos sinais dos fatores
,
e
. O fator constante
é sempre positivo e não altera o sinal. Vamos analisar rapidamente fator a fator:
-
Para
: é negativo . . . Produto de sinais: . Logo em . -
Para
: é negativo . . . Produto: . Logo em . -
Para
: é positivo . . . Produto: . Logo em . -
Para
: todos os fatores (exceto o ) são positivos, então o produto é positivo. Logo em .
Passo 6
Interpretação final (didática e motivacional): onde
a função cresce; onde
ela decresce. Usando a análise do passo anterior, concluímos os intervalos de crescimento e decrescimento. Além disso, note que em
e
a derivada muda de negativa para positiva, sinal típico de mínimo local, e em
muda de positiva para negativa, sinal típico de máximo local — isso é um bônus útil para entender o formato da curva.
Resposta
Crescimento:
Decrescimento:
Decrescimento: