Encontre os pontos críticos da função
f(x)=x^{3}-6 x^{2}+9 x
Classifique como máximo, mínimo ou ponto de sela.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) encontrar os pontos críticos da função f(x)=x^{3}-6 x^{2}+9 x
e (2) classificar cada ponto crítico como máximo, mínimo ou ponto de sela.
Informações dadas e observações imediatas: a função é um polinômio de grau 3, portanto está definida e derivável para todo x\in\mathbb{R}. Não há restrição de domínio no enunciado.

Passo 2

Definição e plano de ação (sem resolver ainda): um ponto crítico é qualquer x tal que \,f'(x)=0 ou \,f'(x) não esteja definido. Como \,f é polinomial, f'(x) existe para todo x, então devemos resolver \,f'(x)=0. Vou calcular f'(x) aplicando a regra do poder: a derivada de \,x^{n} é \,n x^{n-1}.
Calculemos a derivada termo a termo:
\text{derivada de }x^{3}\text{ é }3x^{2},é
\text{derivada de }-6x^{2}\text{ é }-12x,é
\text{derivada de }9x\text{ é }9.é
Portanto
f'(x)=3x^{2}-12x+9.

Passo 3

Resolver f'(x)=0. Primeiro fatoro a expressão para simplificar:
f'(x)=3x^{2}-12x+9=3\bigl(x^{2}-4x+3\bigr)=3(x-1)(x-3).
Então
3(x-1)(x-3)=0
implica
x=1\quad\text{ou}\quad x=3.
Esses são os valores de x onde f'(x)=0. Agora calculo as ordenadas correspondentes:
f(1)=1^{3}-6\cdot1^{2}+9\cdot1=1-6+9=4,
f(3)=3^{3}-6\cdot3^{2}+9\cdot3=27-54+27=0.
Portanto os pontos críticos são (1,4) e (3,0).

Passo 4

Métodos de classificação: posso usar (A) o teste da segunda derivada ou (B) o teste da primeira derivada (sinal de f' à esquerda e à direita). Vou fazer os dois (curto) porque um confirma o outro — é bom para a prova e para aprender.
Calcule a segunda derivada:
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}-12x+9\bigr)=6x-12.
Avalio em cada ponto crítico:
Para x=1:
f''(1)=6\cdot1-12=6-12=-6<0.
Quando f''(x)<0 em um ponto crítico, a concavidade é para baixo aí — isso indica que f tem um máximo local em x=1.
Para x=3:
f''(3)=6\cdot3-12=18-12=6>0.
Quando f''(x)>0 em um ponto crítico, a concavidade é para cima — isso indica que f tem um mínimo local em x=3.
Agora confirmo com o teste da primeira derivada (sinais de f' nos intervalos): como f'(x)=3(x-1)(x-3),
  • para x<1 (por exemplo x=0) temos f'(0)=9>0 → função crescente à esquerda de x=1;
  • para 1<x<3 (por exemplo x=2) temos f'(2)=3(1-2+?) — calcular diretamente:
f'(2)=3\cdot2^{2}-12\cdot2+9=3\cdot4-24+9=12-24+9=-3<0,
portanto função decrescente entre 1 e 3;
  • para x>3 (por exemplo x=4) temos
f'(4)=3\cdot4^{2}-12\cdot4+9=48-48+9=9>0,
logo função crescente para x>3.
Com isso: em x=1 a derivada muda de positiva para negativa (crescente → decrescente) → máximo local. Em x=3 muda de negativa para positiva (decrescente → crescente) → mínimo local. Não há ponto de sela (ponto de sela para uma função de uma variável corresponderia a derivada zero sem mudança de sinal; aqui não ocorre).

Passo 5

Resumo final e incentivo rápido: encontramos dois pontos críticos e os classificamos usando a segunda derivada (confirmado pelo comportamento do sinal de f'). Você consegue reproduzir esse procedimento na prova: (1) calcule f', (2) resolva f'=0, (3) calcule f'' e avalie nos críticos para classificar. Se preferir, faça também o teste do sinal de f' para se sentir seguro — é quase sempre rápido para polinômios.

Resposta

(1,4) — máximo local
(3,0) — mínimo local

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