Encontre os pontos críticos da função
Classifique como máximo, mínimo ou ponto de sela.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) encontrar os pontos críticos da função
e (2) classificar cada ponto crítico como máximo, mínimo ou ponto de sela.
Informações dadas e observações imediatas: a função é um polinômio de grau , portanto está definida e derivável para todo
. Não há restrição de domínio no enunciado.
Informações dadas e observações imediatas: a função é um polinômio de grau
Passo 2
Definição e plano de ação (sem resolver ainda): um ponto crítico é qualquer
tal que
ou
não esteja definido. Como
é polinomial,
existe para todo
, então devemos resolver
. Vou calcular
aplicando a regra do poder: a derivada de
é
.
Calculemos a derivada termo a termo:
Portanto
Passo 3
Resolver
. Primeiro fatoro a expressão para simplificar:
Então
implica
Esses são os valores de
onde
. Agora calculo as ordenadas correspondentes:
Portanto os pontos críticos são
e
.
Passo 4
Métodos de classificação: posso usar (A) o teste da segunda derivada ou (B) o teste da primeira derivada (sinal de
à esquerda e à direita). Vou fazer os dois (curto) porque um confirma o outro — é bom para a prova e para aprender.
Calcule a segunda derivada:
Avalio em cada ponto crítico:
Para
:
Quando
em um ponto crítico, a concavidade é para baixo aí — isso indica que
tem um máximo local em
.
Para
:
Quando
em um ponto crítico, a concavidade é para cima — isso indica que
tem um mínimo local em
.
Agora confirmo com o teste da primeira derivada (sinais de
nos intervalos): como
,
- para
(por exemplo ) temos → função crescente à esquerda de ; - para
(por exemplo ) temos — calcular diretamente:
portanto função decrescente entre
e
;
- para
(por exemplo ) temos
logo função crescente para
.
Com isso: em
a derivada muda de positiva para negativa (crescente → decrescente) → máximo local. Em
muda de negativa para positiva (decrescente → crescente) → mínimo local. Não há ponto de sela (ponto de sela para uma função de uma variável corresponderia a derivada zero sem mudança de sinal; aqui não ocorre).
Passo 5
Resumo final e incentivo rápido: encontramos dois pontos críticos e os classificamos usando a segunda derivada (confirmado pelo comportamento do sinal de
). Você consegue reproduzir esse procedimento na prova: (1) calcule
, (2) resolva
, (3) calcule
e avalie nos críticos para classificar. Se preferir, faça também o teste do sinal de
para se sentir seguro — é quase sempre rápido para polinômios.