Calcule:
( 7 pontos) A integral de superfície da função f(x, y, z)=x y z sobre a superfície plana triangular de vértices (1,0,0),(0,2,0) e (0,0,3).
Passo 1
O enunciado pede a integral de superfície da função f(x,y,z)=x y z sobre a superfície plana triangular com vértices nos pontos A=(1,0,0), B=(0,2,0) e C=(0,0,3).
Informações dadas:
Função a integrar: f(x,y,z)=x y z.
Superfície: triângulo planar com vértices A=(1,0,0), B=(0,2,0), C=(0,0,3).
Objetivo: calcular \displaystyle \iint_{S} f(x,y,z)\,dS, onde S é esse triângulo.
Passo 2
Estratégia escolhida (explicação didática do método): para integrar uma função escalar sobre uma superfície plana triangular usa-se uma parametrização linear do triângulo por duas variáveis u,v. A parametrização transforma a integral de superfície em uma integral dupla sobre a região triangular no plano uv. Em termos práticos:
escolhe-se um vértice como ponto base (por exemplo A),
usa-se os vetores \vec{AB} e \vec{AC} como vetores diretores,
define-se \vec{r}(u,v)=\vec{A}+u\vec{AB}+v\vec{AC} com u\ge0, v\ge0, u+v\le1.
A medida de área elementar na superfície é \bigl|\vec{r}_u\times\vec{r}_v\bigr|\,du\,dv, onde \vec{r}_u e \vec{r}_v são derivadas parciais da parametrização. Vou aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Escolha da parametrização. Pegando A=(1,0,0) como ponto base, calculo os vetores para os outros vértices:
Portanto o elemento de área é dS=7\,du\,dv. (Interpretação física: \bigl|\vec{r}_u\times\vec{r}_v\bigr| é a área do paralelogramo gerado por \vec{r}_u e \vec{r}_v; para o triângulo usamos a metade desse paralelogramo na contagem de domínio u+v\le1, mas como o domínio D já corresponde ao triângulo, 7\,du\,dv é o elemento de área adequado.)
Passo 5
Expressar a função f na parametrização. Substituo \vec{r}(u,v) em f(x,y,z)=x y z. Com x=1-u-v, y=2u, z=3v, temos:
Cálculo da integral final. Faço a substituição direta ou mudo a variável t=1-u. Usando t=1-u (então dt=-du, quando u=0 temos t=1 e quando u=1 temos t=0):