Calcule:
( 7 pontos) A integral de superfície da função f(x, y, z)=x y z sobre a superfície plana triangular de vértices (1,0,0),(0,2,0) e (0,0,3).

Passo 1

O enunciado pede a integral de superfície da função f(x,y,z)=x y z sobre a superfície plana triangular com vértices nos pontos A=(1,0,0), B=(0,2,0) e C=(0,0,3).
Informações dadas:
  • Função a integrar: f(x,y,z)=x y z.
  • Superfície: triângulo planar com vértices A=(1,0,0), B=(0,2,0), C=(0,0,3).
  • Objetivo: calcular \displaystyle \iint_{S} f(x,y,z)\,dS, onde S é esse triângulo.

Passo 2

Estratégia escolhida (explicação didática do método): para integrar uma função escalar sobre uma superfície plana triangular usa-se uma parametrização linear do triângulo por duas variáveis u,v. A parametrização transforma a integral de superfície em uma integral dupla sobre a região triangular no plano uv. Em termos práticos:
  • escolhe-se um vértice como ponto base (por exemplo A),
  • usa-se os vetores \vec{AB} e \vec{AC} como vetores diretores,
  • define-se \vec{r}(u,v)=\vec{A}+u\vec{AB}+v\vec{AC} com u\ge0, v\ge0, u+v\le1.
    A medida de área elementar na superfície é \bigl|\vec{r}_u\times\vec{r}_v\bigr|\,du\,dv, onde \vec{r}_u e \vec{r}_v são derivadas parciais da parametrização. Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Escolha da parametrização. Pegando A=(1,0,0) como ponto base, calculo os vetores para os outros vértices:
\vec{AB}=B-A=(0,2,0)-(1,0,0)=(-1,2,0),
\vec{AC}=C-A=(0,0,3)-(1,0,0)=(-1,0,3).
A parametrização do triângulo é então
\vec{r}(u,v)=A+u\vec{AB}+v\vec{AC}=(1,0,0)+u(-1,2,0)+v(-1,0,3).
Simplificando coordenada a coordenada:
\vec{r}(u,v)=\bigl(1-u-v,\;2u,\;3v\bigr).
O domínio (u,v) é o triângulo no primeiro quadrante dado por
D=\{(u,v)\mid u\ge0,\;v\ge0,\;u+v\le1\}.

Passo 4

Cálculo das derivadas parciais e da área elemental. Derivo \vec{r} em relação a u e v:
\vec{r}_u=\frac{\partial\vec{r}}{\partial u}=(-1,2,0), \quad \vec{r}_v=\frac{\partial\vec{r}}{\partial v}=(-1,0,3).
Agora calculo o produto vetorial \vec{r}_u\times\vec{r}_v. Usando a regra do determinante:
\vec{r}_u\times\vec{r}_v = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ -1 & 2 & 0 \\\\ -1 & 0 & 3 \end{vmatrix} = (2\cdot3-0\cdot0)\,\mathbf{i} -((-1)\cdot3-0\cdot(-1))\,\mathbf{j} +((-1)\cdot0-2\cdot(-1))\,\mathbf{k}.
Simplificando:
\vec{r}_u\times\vec{r}_v=(6,\,3,\,2).
O módulo desse vetor dá o fator de escala da área:
\bigl|\vec{r}_u\times\vec{r}_v\bigr|=\sqrt{6^2+3^2+2^2}=\sqrt{36+9+4}=\sqrt{49}=7.
Portanto o elemento de área é dS=7\,du\,dv. (Interpretação física: \bigl|\vec{r}_u\times\vec{r}_v\bigr| é a área do paralelogramo gerado por \vec{r}_u e \vec{r}_v; para o triângulo usamos a metade desse paralelogramo na contagem de domínio u+v\le1, mas como o domínio D já corresponde ao triângulo, 7\,du\,dv é o elemento de área adequado.)

Passo 5

Expressar a função f na parametrização. Substituo \vec{r}(u,v) em f(x,y,z)=x y z. Com x=1-u-v, y=2u, z=3v, temos:
f\bigl(\vec{r}(u,v)\bigr)=(1-u-v)\cdot(2u)\cdot(3v)=6\,u v\,(1-u-v).
Multiplicando pelo fator de área 7 obtém-se o integrando da integral dupla:
f\bigl(\vec{r}(u,v)\bigr)\,\bigl|\vec{r}_u\times\vec{r}_v\bigr| =7\cdot 6\,u v\,(1-u-v)=42\,u v\,(1-u-v).

Passo 6

Montagem da integral dupla sobre o domínio D:
\iint_{S} f\,dS = \iint_{D} 42\,u v\,(1-u-v)\,du\,dv,
com D=\{(u,v)\mid 0\le u\le1,\\\ 0\le v\le1-u\}. Vou integrar primeiro em v (de 0 a 1-u) e depois em u (de 0 a 1):
\iint_{S} f\,dS =42\int_{u=0}^{1}\int_{v=0}^{1-u} u v(1-u-v)\,dv\,du.

Passo 7

Cálculo da integral interna em v. Defino
J(u)=\int_{0}^{1-u} v(1-u-v)\,dv.
Explico passo a passo: desenvolvo o integrando como v(1-u)-v^2, integro termo a termo:
J(u)=(1-u)\int_{0}^{1-u} v\,dv - \int_{0}^{1-u} v^2\,dv.
As primitivas são \int v\,dv=\tfrac{v^2}{2} e \int v^2\,dv=\tfrac{v^3}{3}. Avaliando em v=1-u:
J(u)=(1-u)\cdot\frac{(1-u)^2}{2}-\frac{(1-u)^3}{3}.
Coloco em fator comum (1-u)^3:
J(u)=(1-u)^3\!\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)=(1-u)^3\cdot\frac{1}{6}=\frac{(1-u)^3}{6}.

Passo 8

Agora a integral total fica
\iint_{S} f\,dS =42\int_{0}^{1} u\cdot J(u)\,du =42\int_{0}^{1} u\cdot\frac{(1-u)^3}{6}\,du.
Simplificando o fator 42/6:
\iint_{S} f\,dS=7\int_{0}^{1} u(1-u)^3\,du.

Passo 9

Cálculo da integral final. Faço a substituição direta ou mudo a variável t=1-u. Usando t=1-u (então dt=-du, quando u=0 temos t=1 e quando u=1 temos t=0):
\int_{0}^{1} u(1-u)^3\,du = \int_{1}^{0} (1-t)t^3(-dt)=\int_{0}^{1} (1-t)t^3\,dt.
Expandindo:
\int_{0}^{1} (t^3-t^4)\,dt = \left[\frac{t^4}{4}-\frac{t^5}{5}\right]_{0}^{1} =\frac{1}{4}-\frac{1}{5}=\frac{1}{20}.
Portanto
\iint_{S} f\,dS = 7\cdot\frac{1}{20}=\frac{7}{20}.

Resposta

\dfrac{7}{20}

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