Calcule as seguintes integrais indefinidas:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A função a integrar é a soma de três termos:
, e . - Deve-se encontrar uma primitiva (ou antiderivada) geral, ou seja, uma função cuja derivada seja a integranda, acrescentando a constante de integração
no final.
Passo 2
Regra que vamos usar (explicação didática):
- A integral é linear: para funções
e e constantes ,
Isso permite integrar termo a termo.
- Regra da potência (caso mais usado em provas): para qualquer real
com ,
Aqui
é a variável de integração,
é o expoente; o denominador
ajusta a nova potência. Para expoentes fracionários ou negativos a regra é a mesma, desde que
.
Passo 3
Integrando o primeiro termo
.
Aplicando a regra da potência com :
Aplicando a regra da potência com
Simplificando a fração:
Portanto, uma primitiva do primeiro termo é
.
Passo 4
Integrando o segundo termo
.
Pelo fator constante, escrevo .
Agora aplico a regra da potência com :
Pelo fator constante, escrevo
Agora aplico a regra da potência com
Como
, obtemos
.
Multiplicando pelo fator :
Multiplicando pelo fator
Portanto, uma primitiva do segundo termo é
.
Passo 5
Integrando o terceiro termo
.
Constante: .
Portanto, uma primitiva do terceiro termo é .
Constante:
Portanto, uma primitiva do terceiro termo é
Passo 6
Cada termo teve sua primitiva encontrada separadamente:
- primeiro termo:
, - segundo termo:
, - terceiro termo:
.
Somando essas primitivas e acrescentando a constante de integração
, obtém-se a primitiva geral da integranda.
Passo 7
Verificação rápida (checando derivadas term a term):
-
-
-
Somando essas derivadas volta-se à integranda, o que confirma que a primitiva está correta.