Calcule as seguintes integrais indefinidas:
\int x^{1 / 3}-3 x^{-2 / 3}+6 d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int x^{1/3}-3 x^{-2/3}+6\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é a soma de três termos: x^{1/3}, -3x^{-2/3} e 6.
  • Deve-se encontrar uma primitiva (ou antiderivada) geral, ou seja, uma função cuja derivada seja a integranda, acrescentando a constante de integração C no final.

Passo 2

Regra que vamos usar (explicação didática):
  • A integral é linear: para funções f e g e constantes a,b,
\int (a f(x) + b g(x))\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx.
Isso permite integrar termo a termo.
  • Regra da potência (caso mais usado em provas): para qualquer real n com n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui x é a variável de integração, n é o expoente; o denominador n+1 ajusta a nova potência. Para expoentes fracionários ou negativos a regra é a mesma, desde que n\neq -1.

Passo 3

Integrando o primeiro termo x^{1/3}.
Aplicando a regra da potência com n=\tfrac{1}{3}:
\int x^{1/3}\,dx = \frac{x^{1/3+1}}{1/3+1} = \frac{x^{4/3}}{4/3}.
Simplificando a fração:
\frac{x^{4/3}}{4/3} = \frac{3}{4}\,x^{4/3}.
Portanto, uma primitiva do primeiro termo é \dfrac{3}{4}x^{4/3}.

Passo 4

Integrando o segundo termo -3x^{-2/3}.
Pelo fator constante, escrevo -3\int x^{-2/3}\,dx.
Agora aplico a regra da potência com n=-\tfrac{2}{3}:
\int x^{-2/3}\,dx = \frac{x^{-2/3+1}}{-2/3+1} = \frac{x^{1/3}}{1/3}.
Como \dfrac{1}{1/3}=3, obtemos \int x^{-2/3}\,dx = 3x^{1/3}.
Multiplicando pelo fator -3:
-3\cdot 3x^{1/3} = -9x^{1/3}.
Portanto, uma primitiva do segundo termo é -9x^{1/3}.

Passo 5

Integrando o terceiro termo 6.
Constante: \int 6\,dx = 6x.
Portanto, uma primitiva do terceiro termo é 6x.

Passo 6

Cada termo teve sua primitiva encontrada separadamente:
  • primeiro termo: \dfrac{3}{4}x^{4/3},
  • segundo termo: -9x^{1/3},
  • terceiro termo: 6x.
Somando essas primitivas e acrescentando a constante de integração C, obtém-se a primitiva geral da integranda.

Passo 7

Verificação rápida (checando derivadas term a term):
  • \displaystyle \frac{d}{dx}\!\left(\frac{3}{4}x^{4/3}\right)=\frac{3}{4}\cdot\frac{4}{3}x^{1/3}=x^{1/3}.
  • \displaystyle \frac{d}{dx}\!\left(-9x^{1/3}\right)=-9\cdot\frac{1}{3}x^{-2/3}=-3x^{-2/3}.
  • \displaystyle \frac{d}{dx}(6x)=6.
    Somando essas derivadas volta-se à integranda x^{1/3}-3x^{-2/3}+6, o que confirma que a primitiva está correta.

Resposta

\frac{3}{4}x^{4/3}-9x^{1/3}+6x+C

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