Calcule as seguintes integrais indefinidas:
Passo 1
O enunciado pede a integral indefinida da função dada. As informações fornecidas são:
- Integrando:
. - Variável de integração:
. - Queremos encontrar uma primitiva
tal que , mais a constante de integração .
Observação sobre domínio: como aparece
, a expressão escrita como potência será mais clara se assumirmos
(para evitar problemas com raiz). Vou reescrever
em potências para aplicar a regra de potências.
Passo 2
Reescrever cada termo em forma de potência e separar termos para usar a integral termo a termo (a integral de soma é soma das integrais). Usando
, o integrando fica:
Portanto
Passo 3
Lembrando a regra básica para integrar potências (regra da potência):
E a propriedade da constante:
onde
é constante. Vamos aplicar essas regras termo a termo.
Passo 4
Integrar o primeiro termo
:
- Aqui
e com . - Pela regra da constante e da potência:
Passo 5
Integrar o segundo termo
:
- Constante multiplicativa é
e . - Primeiro calcule a integral de
:
- Multiplicando pela constante
:
Passo 6
Integrar o terceiro termo
:
- Aqui
é constante, e a integral de uma constante é a constante vezes :
Passo 7
Juntando as primitivas de cada termo e adicionando a constante de integração
:
Passo 8
Verificação rápida (diferenciação) para garantir que
retorna o integrando:
-
. -
. -
.
Somando:, que é exatamente o integrando (lembre que ). Tudo conferido.