Calcule as seguintes integrais indefinidas:
\int 3 t^{2}-\sqrt{5 t}+2 d t

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida da função dada. As informações fornecidas são:
  • Integrando: \;3 t^{2}-\sqrt{5 t}+2.
  • Variável de integração: t.
  • Queremos encontrar uma primitiva F(t) tal que F'(t)=3 t^{2}-\sqrt{5 t}+2, mais a constante de integração C.
Observação sobre domínio: como aparece \sqrt{5 t}, a expressão escrita como potência será mais clara se assumirmos t\ge 0 (para evitar problemas com raiz). Vou reescrever \sqrt{5 t} em potências para aplicar a regra de potências.

Passo 2

Reescrever cada termo em forma de potência e separar termos para usar a integral termo a termo (a integral de soma é soma das integrais). Usando \sqrt{5 t}=\sqrt{5}\,\sqrt{t}=\sqrt{5}\,t^{1/2}, o integrando fica:
3 t^{2}-\sqrt{5 t}+2 = 3 t^{2} - \sqrt{5}\,t^{1/2} + 2.
Portanto
\int\bigl(3 t^{2}-\sqrt{5 t}+2\bigr)\,dt = \int 3 t^{2}\,dt \;-\; \int \sqrt{5}\,t^{1/2}\,dt \;+\; \int 2\,dt.

Passo 3

Lembrando a regra básica para integrar potências (regra da potência):
\int t^{n}\,dt=\frac{t^{n+1}}{n+1}+C,\qquad \text{para }n\neq -1.
E a propriedade da constante:
\int a\cdot f(t)\,dt = a\cdot\int f(t)\,dt,
onde a é constante. Vamos aplicar essas regras termo a termo.

Passo 4

Integrar o primeiro termo \int 3 t^{2}\,dt:
  • Aqui a=3 e t^{2}=t^{n} com n=2.
  • Pela regra da constante e da potência:
\int 3 t^{2}\,dt = 3\cdot\frac{t^{2+1}}{2+1} = 3\cdot\frac{t^{3}}{3} = t^{3}.

Passo 5

Integrar o segundo termo -\int \sqrt{5}\,t^{1/2}\,dt:
  • Constante multiplicativa é \sqrt{5} e n=\tfrac{1}{2}.
  • Primeiro calcule a integral de t^{1/2}:
\int t^{1/2}\,dt = \frac{t^{1/2+1}}{1/2+1} = \frac{t^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}\,t^{3/2}.
  • Multiplicando pela constante -\sqrt{5}:
-\int \sqrt{5}\,t^{1/2}\,dt = -\sqrt{5}\cdot\frac{2}{3}\,t^{3/2} = -\frac{2\sqrt{5}}{3}\,t^{3/2}.

Passo 6

Integrar o terceiro termo \int 2\,dt:
  • Aqui 2 é constante, e a integral de uma constante é a constante vezes t:
\int 2\,dt = 2t.

Passo 7

Juntando as primitivas de cada termo e adicionando a constante de integração C:
F(t)=t^{3} - \frac{2\sqrt{5}}{3}\,t^{3/2} + 2t + C.

Passo 8

Verificação rápida (diferenciação) para garantir que F'(t) retorna o integrando:
  • \dfrac{d}{dt}t^{3}=3t^{2}.
  • \dfrac{d}{dt}\!\left(-\dfrac{2\sqrt{5}}{3}t^{3/2}\right) = -\dfrac{2\sqrt{5}}{3}\cdot\dfrac{3}{2}t^{1/2} = -\sqrt{5}\,t^{1/2}.
  • \dfrac{d}{dt}(2t)=2.
    Somando: 3t^{2}-\sqrt{5}\,t^{1/2}+2, que é exatamente o integrando (lembre que \sqrt{5}\,t^{1/2}=\sqrt{5t}). Tudo conferido.

Resposta

t^{3}-\frac{2\sqrt{5}}{3}\,t^{3/2}+2t+C

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