Calcule os pontos de máximos e de mínimos relativos (se existem) de:
y=2 x^2+2x^2

Passo 1

O enunciado pede para achar os pontos de máximo e mínimo relativo da função
y = 2x^2 + 2x^2,
que está definida em (-infty,0)cup(0,infty). Como se trata de extremos relativos, vamos usar derivadas: encontraremos y', igualaremos a zero para achar pontos críticos e depois aplicaremos o teste da segunda derivada para classificar cada ponto.

Passo 2

Calculando a derivada de y:
y = 2x^2 + 2x^-2 Longrightarrow y' = ddx(2x^2) + ddx(2x^-2) = 4x - 4x^-3
Para achar os pontos críticos, resolvemos
y'=0 Longrightarrow 4x - 4x^3 = 0 Longrightarrow 4x = 4x^3 Longrightarrow x^4 = 1 Longrightarrow x = pm 1

Passo 3

Agora usamos a segunda derivada para ver se cada ponto é mínimo ou máximo.
y'' = ddxl(4x - 4x^-3r) = 4 + 12x^-4 = 4 + 12x^4
Em x=1 e x=-1 temos
y''(1) = 4 + 121^4 = 16 > 0, y''(-1) = 4 + 12(-1)^4 = 16 > 0
Como y''>0, ambos são pontos de mínimo relativo.

Passo 4

Calculamos o valor de y nesses pontos:
y(pm1) = 2cdot1^2 + 21^2 = 2 + 2 = 4
Não existem pontos onde y''<0, logo não há máximos relativos.

Resposta

Os mínimos relativos ocorrem em
(1,4)e(-1,4),
e não existem máximos relativos.

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