Calcule os pontos de máximos e de mínimos relativos (se existem) de:
y=x^2 raiz3-x^2

Passo 1

O enunciado pede para achar os extremos relativos de
y = x^2,raiz3 - x^2
no domínio em que a raiz é real, ou seja -raiz3<= x<=raiz3.
Para isso vamos usar derivadas:
  1. calcular y' por regra do produto e cadeia;
  2. achar pontos críticos resolvendo y'=0 (ou onde y' não existe);
  3. estudar o sinal de y' em cada intervalo para classificar cada ponto crítico.

Passo 2

Escrevendo
y = x^2,(3 - x^2)^1/2,
aplicamos o produto e a cadeia:
y' = 2x,(3 - x^2)^1/2 + x^2,12(3 - x^2)^-1/2,(-2x)
Isso dá
y' = 2xraiz3 - x^2 ;-;x^3raiz3 - x^2 =2x(3 - x^2) - x^3raiz3 - x^2 =6x - 3x^3raiz3 - x^2 =3x,(2 - x^2)raiz3 - x^2

Passo 3

Os pontos críticos vêm de numerador zero (o denominador só zera nos extremos do domínio):
3x,(2 - x^2) = 0 Longrightarrow x = 0, x^2=2;Rightarrow;x = pmraiz2

Passo 4

Para classificar, examinamos o sinal de y':
  • Em (-raiz3,-raiz2): x<0 e 2-x^2<0; Rightarrow,y'>0.
  • Em (-raiz2,0): x<0 e 2-x^2>0; Rightarrow,y'<0.
    Logo em x=-raiz2 há troca de + para -, é máximo relativo.
  • Em (0,raiz2): x>0 e 2-x^2>0; Rightarrow,y'>0.
  • Em (raiz2,raiz3): x>0 e 2-x^2<0; Rightarrow,y'<0.
    Logo em x=+raiz2 também há troca de + para -, é máximo relativo.
  • Em torno de x=0: em (-raiz2,0) temos y'<0 e em (0,raiz2) temos y'>0, troca de - para +, logo x=0 é mínimo relativo.
Calculamos os valores:
y(0)=0, y(pmraiz2) = (raiz2)^2,raiz3-2 = 2cdot1 = 2

Resposta

Pontos de máximo relativo:
l(-raiz2,2r) e l(raiz2,2r)
Ponto de mínimo relativo:
(0,0)

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