Determinar a transformada de Laplace das funções abaixo indicadas.
f(t)=3 t exp (-2 t) cos (4 t).

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
f(t)=3,t,e^-2tcos(4t)
O assunto é transformada de Laplace, usando a propriedade de deslocamento no domínio de s e a propriedade de derivada em s para o fator t.

Passo 2

Primeiro retiramos o fator constante 3 e aplicamos a propriedade de deslocamento: se
g(t)=tcos(4t),
então
Le^-2tg(t)(s)=G(s+2),
onde G(s)=Ltcos(4t)(s).

Passo 3

Agora usamos a propriedade da derivada em s:
Ltcos(4t)(s)=-ddsl(Lcos(4t)(s)r)
Como
Lcos(4t)(s)=ss^2+16,
temos
G(s)=-dds!l(ss^2+16r)

Passo 4

Calculamos a derivada
dds!l(ss^2+16r) =(s^2+16)cdot1 - scdot2s(s^2+16)^2 =s^2+16-2s^2(s^2+16)^2 =16 - s^2(s^2+16)^2
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G(s)=-16 - s^2(s^2+16)^2 =s^2-16(s^2+16)^2

Passo 5

Pelo deslocamento,
Lt,e^-2tcos(4t)(s) =G(s+2) =(s+2)^2-16l((s+2)^2+16r)^2

Passo 6

Finalmente voltamos o fator 3:
L3t,e^-2tcos(4t)(s) =3;(s+2)^2-16l((s+2)^2+16r)^2 =3l((s+2)^2-16r)l((s+2)^2+16r)^2

Resposta

L3t,e^-2tcos(4t)(s) =3l((s+2)^2-16r)l((s+2)^2+16r)^2

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