Determinar todas as possíveis funções f que satisfazem a seguinte propriedade:
(x-1)[f(x)]^2+2 x[f(x)]=-1-x
Determine também a paridade dessas funções.

Solução:

Fazendo y=f(x) na equação do problema, obtemos a seguinte equação polinomial na variável y :
(x-1) y^2+2 x y+(1+x)=0
Identificando os coeficientes do polinômio:
a=x-1, b=2 x, c=(1+x)
Vamos fazer dois casos:
(a) Se x=1, então: a=0, b=2 e c=2
2 y+2=0 Long<=ftrightarrow y+1=0 Long<=ftrightarrow y=-1
Temos então como solução a função:
f0:1 R, f0(1)=-1
(b) Se x neq 1, então a neq 0, logo temos uma equação quadrática.
Vamos achar o discriminante:
De<a=b^2-4 a c=(2 x)^2-4(x-1)(x+1)=4 x^2-4(x^2-1)=4 x^2-4 x^2+4=4
Pela fórmula geral ou Bhaskara, obtemos as duas raizes da equação quadrática:
y=-b pm raizDe<a2 a=-2 x pm raiz42(x-1)=-2 x pm 22(x-1)=-x pm 1x-1
Assim:
y1=-x-1x-1, y2=-x+1x-1=-1
Temos então como soluções as funções:
r f1: R-1 R, f1(x)=-x-1x-1 f2: R-1 R, f2(x)=-1
Juntando os dois casos, obtemos somente duas funções:
f1: R-1 R, f1(x)=-x-1x-1 f3: R R, f3(x)=ll f0(x), & se x=1 f2(x), & se x neq 1 Longrightarrow f3(x)=-1
Analisando a paridade das duas funções:
(a) Como
f1(-2)=-(-2)-1-2-1=2-1-3=1-3=-13
e
f1(2)=-2-12-1=-31=-3
Vemos então que f1(-2) neq f1(2) e f1(-2) neq-f1(2). Portanto f1 não tem paridade.
(b) Como
f3(-x)=-1=f3(x), forall x in R
Portanto f3 é uma função par.

Passo 1

O enunciado pede para achar todas as funções f:RtoR tais que, para todo x,
(x-1)l[f(x)r]^2 + 2x,f(x) = -1 - x
Isto é resolver, em cada x, a equação polinomial de grau até 2 em y=f(x).

Passo 2

Caso x=1: substituindo na equação,
(1-1),f(1)^2 + 2cdot1,f(1) = -1 - 1 = -2
logo
2,f(1) = -2 Longrightarrow f(1) = -1

Passo 3

Caso xneq1: então o coeficiente quadrático a=x-1 é não nulo. Temos
a = x-1, b = 2x, c = 1+x
O discriminante é
De<a = b^2 - 4ac = (2x)^2 - 4(x-1)(x+1) =4x^2 -4(x^2-1) =4
Pela fórmula de Bhaskara,
y = -b pm raizDe<a2a = -2x pm 22(x-1) = -x pm 1x-1

Passo 4

As duas raízes para y=f(x) quando xneq1 são
y1 = -x-1x-1, y2 = -x+1x-1 = -1
Juntando com f(1)=-1, concluímos que existem duas funções f:RtoR solução:
(i) f1(x) = dfrac-(x+1),x-1,, & xneq1,[6pt] -1, & x=1, (ii) f2(x) = -1, forall xinR ]

Passo 5

Verificando paridade de f1: por exemplo,
f1(-2) = -(-2)-1-2-1 = 2-1-3 = -tfrac13, f1(2) = -2-12-1 = -3
Como f1(-2)neq f1(2) e f1(-2)neq -,f1(2), f1 não é nem par nem ímpar.

Passo 6

Para f2, temos
f2(-x) = -1 = f2(x)forall x,
logo f2 é uma função par.

Resposta

As duas soluções são
f1(x) = -dfracx+1x-1, & xneq1, -1, & x=1, (não tem paridade), ã
e
f2(x) = -1, forall xinR (é par) é

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