Determinar todas as possíveis funções
que satisfazem a seguinte propriedade:
Determine também a paridade dessas funções.
Solução:
Fazendo
na equação do problema, obtemos a seguinte equação polinomial na variável
:
Identificando os coeficientes do polinômio:
Vamos fazer dois casos:
(a) Se
, então:
e
Temos então como solução a função:
(b) Se
, então
, logo temos uma equação quadrática.
Vamos achar o discriminante:
Pela fórmula geral ou Bhaskara, obtemos as duas raizes da equação quadrática:
Assim:
Temos então como soluções as funções:
Juntando os dois casos, obtemos somente duas funções:
Analisando a paridade das duas funções:
(a) Como
e
Vemos então que
e
. Portanto
não tem paridade.
(b) Como
Portanto
é uma função par.
(a) Se
(a) Como
(b) Como
Passo 1
O enunciado pede para achar todas as funções
tais que, para todo
,
Isto é resolver, em cada
, a equação polinomial de grau até
em
.
Passo 2
Caso
: substituindo na equação,
logo
Passo 3
Caso
: então o coeficiente quadrático
é não nulo. Temos
O discriminante é
Pela fórmula de Bhaskara,
Passo 4
As duas raízes para
quando
são
Juntando com
, concluímos que existem duas funções
solução:
Passo 5
Verificando paridade de
f1 : por exemplo,
Como
f1(-2)neq f1(2) e
f1(-2)neq -,f1(2) ,
f1 não é nem par nem ímpar.
Passo 6
Para
f2 , temos
logo
f2 é uma função par.
Resposta
As duas soluções são
e