a) Calcule a posição do centro de massa de: a) um cone homogêneo. b) uma casca cônica.

Passo 1

Beleza, o exercício pede para a gente achar a posição do centro de massa (CM) de dois objetos:
a) um cone homogêneo cheio
b) uma casca cônica (fina)
Isso é conteúdo de cinemática de corpo rígido / mecânica, usando cálculo de integrais. Para resolver vamos precisar:
  • Entender densidade (volumétrica ρ pro cone, superficial σ pra casca)
  • Escolher um eixo z (vamos medir a altura desde a base até o vértice)
  • Montar um elemento de massa dm e integrar para achar M e

Passo 2

Centro de massa do cone homogêneo (cheio)
  1. Escolhe o eixo z: z=0 na base, z=h no vértice. O raio do disco a cada z é
    .
  2. A densidade volumétrica é .
  3. Elemento de volume .
    Logo .
  4. Massa total (confirmação):
    .
  5. Posição do CM:
    .

Passo 3

Centro de massa da casca cônica (fina)
  1. Eixo z igual, r(z)= . A densidade de superfície é ,
    onde a área da casca é .
  2. Elemento de área de um “anel” inclinado:
    comprimento do anel , comprimento da faixinha .
    Então .
  3. .
  4. Massa total (verificação rápida) dá .
  5. Posição do CM:
    medido a partir do vértice.
    Mas como a base está em z=0, isso equivale a
    contado da base.

Resposta

a) Para o cone sólido homogêneo:
(distância da base).
b) Para a casca cônica fina:
(distância da base).

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