a) Calcule a posição do centro de massa de: a) um cone homogêneo. b) uma casca cônica.
Passo 1
Beleza, o exercício pede para a gente achar a posição do centro de massa (CM) de dois objetos:
a) um cone homogêneo cheio
b) uma casca cônica (fina)
Isso é conteúdo de cinemática de corpo rígido / mecânica, usando cálculo de integrais. Para resolver vamos precisar:
a) um cone homogêneo cheio
b) uma casca cônica (fina)
Isso é conteúdo de cinemática de corpo rígido / mecânica, usando cálculo de integrais. Para resolver vamos precisar:
- Entender densidade (volumétrica ρ pro cone, superficial σ pra casca)
- Escolher um eixo z (vamos medir a altura desde a base até o vértice)
- Montar um elemento de massa dm e integrar para achar M e
Passo 2
Centro de massa do cone homogêneo (cheio)
- Escolhe o eixo z: z=0 na base, z=h no vértice. O raio do disco a cada z é
. - A densidade volumétrica é
. - Elemento de volume
.
Logo. - Massa total (confirmação):
. - Posição do CM:
.
Passo 3
Centro de massa da casca cônica (fina)
- Eixo z igual, r(z)=
. A densidade de superfície é ,
onde a área da casca é. - Elemento de área de um “anel” inclinado:
comprimento do anel, comprimento da faixinha .
Então. -
. - Massa total (verificação rápida) dá
. - Posição do CM:
medido a partir do vértice.
Mas como a base está em z=0, isso equivale a
contado da base.
Resposta
a) Para o cone sólido homogêneo:
(distância da base).
b) Para a casca cônica fina:
(distância da base).
b) Para a casca cônica fina: