1. Descreva com suas palavras o significado da primeira e da segunda derivada de uma função. (5,0 pontos)

Passo 1

Beleza, o exercício pede que você escreva, com suas próprias palavras, o que representam a primeira e a segunda derivada de uma função. Isso cai em Cálculo Diferencial, onde a gente aprende a derivar e a interpretar geometricamente e fisicamente o resultado. Para resolver, a gente vai precisar lembrar da definição de derivada, entender o que ela diz sobre “taxa de variação” e depois estender isso para a segunda derivada.

Passo 2

Antes de ver o significado específico, vale recapitular o que é derivada. Dados f'(x) ;=;limhto 0f(x+h)-f(x)h , a derivada em é
Isso mede a inclinação da reta tangente ao gráfico de em , ou seja, quão rápido e em que direção a função está mudando naquele ponto.

Passo 3

Primeira derivada ( ):
  1. Teoria: é a “taxa de variação instantânea” de .
  2. Geometricamente: dá o coeficiente angular da reta tangente em cada ponto.
  3. Fisicamente (no contexto de movimento): se é posição, é velocidade.
  4. Interpretação simples:
    • Se , está subindo (gráfico crescente).
    • Se , está descendo (gráfico decrescente).
    • Se , pode ser um ponto de “flutuação” (máximo, mínimo ou ponto de inflexão).

Passo 4

Segunda derivada ( f''(x)=l(f'(x)r)' ):
  1. Definição: é a derivada da derivada, ou seja,
  2. Geometricamente: indica a curvatura (concavidade) do gráfico de .
  3. Fisicamente (no mesmo contexto): se é velocidade, é aceleração.
  4. Interpretação simples:
    • Se , o gráfico está “virando para cima” (concavidade para cima).
    • Se , o gráfico está “virando para baixo” (concavidade para baixo).
    • Se , pode ser ponto de inflexão (troca de concavidade).

Resposta

  • A primeira derivada é a taxa de variação instantânea de em , o que equivale ao coeficiente angular da reta tangente (ou à velocidade, no caso de posição).
  • A segunda derivada mede a variação dessa taxa de variação, indicando a concavidade do gráfico (ou a aceleração, no caso de movimento).

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