- Descreva com suas palavras o significado da primeira e da segunda derivada de uma função. (5,0 pontos)
Passo 1
Beleza, o exercício pede que você escreva, com suas próprias palavras, o que representam a primeira e a segunda derivada de uma função. Isso cai em Cálculo Diferencial, onde a gente aprende a derivar e a interpretar geometricamente e fisicamente o resultado. Para resolver, a gente vai precisar lembrar da definição de derivada, entender o que ela diz sobre “taxa de variação” e depois estender isso para a segunda derivada.
Passo 2
Antes de ver o significado específico, vale recapitular o que é derivada. Dados
, a derivada em
é
Isso mede a inclinação da reta tangente ao gráfico de
em
, ou seja, quão rápido e em que direção a função está mudando naquele ponto.
Passo 3
Primeira derivada (
):
- Teoria: é a “taxa de variação instantânea” de
. - Geometricamente: dá o coeficiente angular da reta tangente em cada ponto.
- Fisicamente (no contexto de movimento): se
é posição, é velocidade. - Interpretação simples:
- Se
, está subindo (gráfico crescente). - Se
, está descendo (gráfico decrescente). - Se
, pode ser um ponto de “flutuação” (máximo, mínimo ou ponto de inflexão).
- Se
Passo 4
Segunda derivada (
):
- Definição: é a derivada da derivada, ou seja,
- Geometricamente: indica a curvatura (concavidade) do gráfico de
. - Fisicamente (no mesmo contexto): se
é velocidade, é aceleração. - Interpretação simples:
- Se
, o gráfico está “virando para cima” (concavidade para cima). - Se
, o gráfico está “virando para baixo” (concavidade para baixo). - Se
, pode ser ponto de inflexão (troca de concavidade).
- Se
Resposta
- A primeira derivada
é a taxa de variação instantânea de em , o que equivale ao coeficiente angular da reta tangente (ou à velocidade, no caso de posição). - A segunda derivada
mede a variação dessa taxa de variação, indicando a concavidade do gráfico (ou a aceleração, no caso de movimento).