Calcule, quando possível, a decomposição espectral das matrizes abaixo:
\left(\begin{array}{cc}1 & 2 \\\\ -1 & 4\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede a decomposição espectral da matriz
A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\[6pt] -1 & 4\end{pmatrix}.
O conteúdo aqui é diagonalização de matrizes via autovalores e autovetores: vamos encontrar os autovalores de A, em seguida os autovetores correspondentes, montar a matriz de passagem P e a diagonal D tal que
A = P\,D\,P^{-1}.]

Passo 2

Para achar os autovalores \lambda calculamos o polinômio característico
\det(A - \lambda I) = \det\!\begin{pmatrix}1-\lambda & 2 \\[4pt] -1 & 4-\lambda\end{pmatrix} = (1-\lambda)(4-\lambda) - (2)(-1).
Expandindo,
(1-\lambda)(4-\lambda) + 2 = 4 -5\lambda + \lambda^2 +2 = \lambda^2 -5\lambda +6 = (\lambda -2)(\lambda -3).
Logo os autovalores são \lambda_1=2 e \lambda_2=3, ambos reais e distintos.]

Passo 3

Para \lambda_1=2 resolvemos (A - 2I)x=0, ou seja
\begin{pmatrix}-1 & 2 \\[4pt] -1 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix} \;\Longrightarrow\;-x + 2y = 0 \;\Longrightarrow\;x = 2y.
Um autovetor associado é, por exemplo,
v_1 = \begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Para \lambda_2=3 resolvemos (A - 3I)x=0, ou seja
\begin{pmatrix}-2 & 2 \\[4pt] -1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix} \;\Longrightarrow\;-2x + 2y = 0 \;\Longrightarrow\;y = x.
Um autovetor associado é
v_2 = \begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Montamos a matriz de passagem P usando v_1 e v_2 como colunas, e a diagonal D com os autovalores:
P = \begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix}2 & 0 \\[4pt] 0 & 3\end{pmatrix}.
Como \det P = 2\cdot1 - 1\cdot1 = 1, temos
P^{-1} = \begin{pmatrix}1 & -1 \\[4pt] -1 & 2\end{pmatrix}.
Portanto a decomposição espectral (diagonalização) é
A = P\,D\,P^{-1} = \begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2 & 0 \\[4pt] 0 & 3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & -1 \\[4pt] -1 & 2\end{pmatrix}.]

Resposta

A = P\,D\,P^{-1}, \quad P = \begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix}2 & 0 \\[4pt] 0 & 3\end{pmatrix}, \quad P^{-1} = \begin{pmatrix}1 & -1 \\[4pt] -1 & 2\end{pmatrix}.]

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