Calcule, quando possível, a decomposição espectral das matrizes abaixo:
\left(\begin{array}{ccc}5 & -6 & 0 \\\\ 3 & -4 & 0 \\\\ 3 & -3 & -1\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede a decomposição espectral (ou diagonalização) da matriz
A = \begin{pmatrix} 5 & -6 & 0\\\\ 3 & -4 & 0\\\\ 3 & -3 & -1 \end{pmatrix}.
Conteúdo: autovalores, autovetores e diagonalização de matrizes.

Passo 2

Calcular o polinômio característico de A. Usamos
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix} 5-\lambda & -6 & 0\\\\ 3 & -4-\lambda & 0\\\\ 3 & -3 & -1-\lambda \end{pmatrix}.
Como a terceira coluna tem só o termo -1-\lambda na última linha, expando por ela:
\det(A - \lambda I) =(-1-\lambda)\det\begin{pmatrix} 5-\lambda & -6\\\\ 3 & -4-\lambda \end{pmatrix}.
E
\det\begin{pmatrix} 5-\lambda & -6\\\\ 3 & -4-\lambda \end{pmatrix} =(5-\lambda)(-4-\lambda)-3\cdot(-6) =\lambda^2-\lambda-20+18 =\lambda^2-\lambda-2.
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\det(A - \lambda I) =(\!-\!(\lambda+1))(\lambda^2-\lambda-2) =(\lambda+1)(\lambda-2)(\lambda+1).

Passo 3

Os autovalores são as raízes do polinômio:
\lambda_1=2\quad(\text{multiplicidade algébrica }1), \quad \lambda_2=\lambda_3=-1\quad(\text{multiplicidade algébrica }2).éé

Passo 4

Autovetor para \lambda=2\). Resolvemos \((A-2I)v=0\): \[\begin{pmatrix} 3 & -6 & 0\\\\ 3 & -6 & 0\\\\ 3 & -3 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}=0 \\ \Longrightarrow\\ \begin{cases} x-2y=0,\\\ x-y-z=0. \end{cases}
Daí x=2y\] e \(z=y. Tomando y=1 obtemos
v_1 = \begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}
para \lambda=2.

Passo 5

Autovetores para \lambda=-1. Resolvemos (A+I)v=0:
\begin{pmatrix} 6 & -6 & 0\\\\ 3 & -3 & 0\\\\ 3 & -3 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}=0 \\ \Longrightarrow\\ x-y=0,
ou seja x=y, com z livre. Uma base do espaço próprio é
v_2 = \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}, \quad v_3 = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 6

Como a soma das dimensões geométricas é 1+2=3, A é diagonalizável. Montamos
P = \bigl[v_1\;v_2\;v_3\bigr] = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\\\ 1 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\\\ 0 & -1 & 0\\\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.
Calcula-se facilmente \det P=1 e
P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\\\ -1 & 2 & 0\\\\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.

Resposta

A = P\,D\,P^{-1}, \quad P = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\\\ 1 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\\\ 0 & -1 & 0\\\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.

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