Calcule, quando possível, a decomposição espectral das matrizes abaixo:
\left(\begin{array}{cc}5 & 9 \\\\ -4 & -7\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede a decomposição espectral da matriz
A=\begin{pmatrix}5 & 9 \\[6pt] -4 & -7\end{pmatrix},
ou seja, verificar se existe uma matriz inversível P e uma diagonal D tais que
P^{-1}AP = D.
Para isso vamos calcular os autovalores de A, seus autovetores e checar se A é diagonalizável.]

Passo 2

Vamos obter o polinômio característico \det(A-\lambda I).
\det\begin{pmatrix}5-\lambda & 9 \\[4pt] -4 & -7-\lambda\end{pmatrix} = (5-\lambda)(-7-\lambda) - (9)(-4).
Expandindo,
(5-\lambda)(-7-\lambda) = \lambda^2 + 2\lambda -35,
e como -9\cdot(-4)=36, temos
\det(A-\lambda I)=\lambda^2+2\lambda-35+36 =\lambda^2+2\lambda+1.]

Passo 3

O polinômio característico fica
\lambda^2+2\lambda+1=(\lambda+1)^2,
portanto o único autovalor é
\lambda=-1
com multiplicidade algébrica 2.

Passo 4

Para encontrar os autovetores de \lambda=-1, resolvemos (A+I)x=0, ou seja
\begin{pmatrix}5+1 & 9 \\[4pt] -4 & -7+1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[2pt]0\end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix}6 & 9 \\[4pt] -4 & -6\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\end{pmatrix}.
A primeira linha dá 6x+9y=0 ou 2x+3y=0. Assim os autovetores são da forma
\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix} =t\begin{pmatrix}-3\\[2pt]2\end{pmatrix},\quad t\neq0.]

Passo 5

O espaço próprio de \lambda=-1 é gerado por um único vetor, então sua dimensão é 1. Como a multiplicidade geométrica (1) é menor que a multiplicidade algébrica (2), a matriz A não é diagonalizável.

Resposta

A matriz não admite decomposição espectral porque não é diagonalizável (o único autovalor -1 possui espaço próprio de dimensão 1, inferior à sua multiplicidade algébrica 2).

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