Calcule, quando possível, a decomposição espectral das matrizes abaixo:
\left(\begin{array}{ccc}15 & -42 & -6 \\\\ 4 & -11 & -2 \\\\ 8 & -24 & -1\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede a decomposição espectral (diagonalização) da matriz
A = \begin{pmatrix} 15 & -42 & -6 \\\\ 4 & -11 & -2 \\\\ 8 & -24 & -1 \end{pmatrix}.
Para isso, precisamos encontrar os autovalores de A resolvendo \det(A - \lambda I) = 0 e, para cada autovalor, um autovetor não-nulo que satisfaça (A - \lambda I)v = 0. Como os autovalores forem distintos, A será diagonalizável.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico \chi(\lambda)=\det(A-\lambda I).
Formando A-\lambda I e expandindo,
\chi(\lambda) =\det\begin{pmatrix} 15-\lambda & -42 & -6\\\\ 4 & -11-\lambda & -2\\\\ 8 & -24 & -1-\lambda \end{pmatrix} =\lambda^3 -3\lambda^2 -\lambda +3.
Fatorando por agrupamento,
\lambda^3 -3\lambda^2 -\lambda +3 =(\lambda^2-1)(\lambda-3) =(\lambda-1)(\lambda+1)(\lambda-3).
Logo os autovalores são
\lambda_1 = -1,\quad \lambda_2 = 1,\quad \lambda_3 = 3.

Passo 3

Para cada [\lambda_i), resolvemos (A-\lambda_i I)v_i=0:
1. \lambda_1 = -1:
A+I = \begin{pmatrix}16&-42&-6\\\ 4&-10&-2\\\ 8&-24&0\end{pmatrix} \sim \begin{cases} x = 3y,\\\ z = y. \end{cases}
Escolhendo (y=1], um autovetor é
v_1 = \begin{pmatrix}3\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.
2\). \(\lambda_2 = 1\): \[A - I = \begin{pmatrix}14&-42&-6\\\ 4&-12&-2\\\ 8&-24&-2\end{pmatrix} \sim \begin{cases} x = 3y,\\\ z = 0. \end{cases}
Escolhendo (y=1], um autovetor é
v_2 = \begin{pmatrix}3\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.
3\). \(\lambda_3 = 3\): \[A - 3I = \begin{pmatrix}12&-42&-6\\\ 4&-14&-2\\\ 8&-24&-4\end{pmatrix} \sim \begin{cases} y = 0,\\\ z = 2x. \end{cases}
Escolhendo (x=1], um autovetor é
v_3 = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 2\end{pmatrix}.

Passo 4

Como os três autovalores são distintos, A é diagonalizável. Definimos
P = \bigl[v_1\;v_2\;v_3\bigr] = \begin{pmatrix} 3 & 3 & 1\\\\ 1 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}, \qquad D = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.
Então a decomposição espectral é
A = P\,D\,P^{-1}.

Resposta

A decomposição espectral fica
A = P\,D\,P^{-1},
onde
P = \begin{pmatrix} 3 & 3 & 1\\\\ 1 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}, \qquad D = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.

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