Verdadeiro ou Falso? Se for verdadeiro, demonstre. Se for falso, justifique.
(a) Se \lambda \in \mathbb{C} for um autovalor de uma matriz real A, então \bar{\lambda} também o será.
(b) Se v for um autovetor associado ao autovalor \lambda \in \mathbb{C} de uma matriz real A, então \bar{v} será um autovetor associado ao autovalor \bar{\lambda}.
(c) O determinante de uma matriz Hermitiana é um número real.

Passo 1

O enunciado apresenta três afirmações sobre autovalores e autovetores de matrizes reais e sobre determinante de matriz Hermitiana. Mais precisamente:
(a) se \lambda\in\mathbb{C} é autovalor de uma matriz real A, então \overline{\lambda} também é;
(b) se v é autovetor associado a \lambda de A, então \overline{v} é autovetor associado a \overline{\lambda};
(c) o determinante de uma matriz Hermitiana é real.
Para resolver usaremos (i) propriedades do polinômio característico de matriz real, (ii) conjugação de equações matriciais e (iii) o fato de \det(A^*)=\overline{\det(A)}.

Passo 2

Prova de (a). Seja
\chi_A(t)=\det(A - tI)
o polinômio característico de A. Como A tem entradas em \mathbb{R}, todos os coeficientes de \chi_A(t) são reais. Num polinômio com coeficientes reais, raízes não reais ocorrem em pares conjugados. Assim, se \chi_A(\lambda)=0, então também \chi_A(\overline{\lambda})=0. Concluímos que, sempre que \lambda é autovalor de A, sua conjugada \overline{\lambda} também o é. Logo, (a) é verdadeiro.

Passo 3

Prova de (b). Suponha
A\,v = \lambda\,v,
com A\in\mathbb{R}^{n\times n}, v\neq 0 e \lambda\in\mathbb{C}. Aplicando conjugação complexa em ambos os lados, e lembrando que \overline{A v}=A\,\overline{v} pois A é real, obtemos
A\,\overline{v} \;=\;\overline{A v} \;=\;\overline{\lambda\,v} \;=\;\overline{\lambda}\,\overline{v}.
Como \overline{v}\neq 0, segue que \overline{v} é autovetor de A associado a \overline{\lambda}. Logo, (b) é verdadeiro.

Passo 4

Prova de (c). Seja H uma matriz Hermitiana, isto é, H^* = H. Então
\det(H^*) \;=\;\det(H).
Por outro lado, uma propriedade geral da determinante é
\det(H^*) \;=\;\overline{\det(H)}.
Igualando as duas expressões, vem
\det(H) \;=\;\overline{\det(H)},
ou seja, \det(H) é igual ao seu conjugado e, portanto, um número real. Assim, (c) é verdadeiro.

Resposta

(a) Verdadeiro.
(b) Verdadeiro.
(c) Verdadeiro.

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