(Oscilador harmônico simples) Consideremos um corpo rígido de massa m preso a uma mola cuja constante de elasticidade é k(>0). Suponhamos que não haja atrito e que a massa da mola seja desprezível em relação à m. Sejam x=x(t) o deslocamento do corpo e v=v(t) a sua velocidade.
Recorde que \frac{d x}{d t}=v e que \frac{d v}{d t}=a. A lei de Hooke (F=-k x) e a 2^{\text {a }} lei de Newton (F=m a) nos levam ao sistema \left\{\begin{array}{l}\frac{d v}{d t}=-\frac{k}{m} x \\\ \frac{d x}{d t}=v\end{array}\right., cuja forma matricial é \binom{\frac{d v}{d t}}{\frac{d x}{d t}}=\left(\begin{array}{cc}0 & -\frac{k}{m} \\\\ 1 & 0\end{array}\right)\binom{v}{x}.
Determine os autovalores e os autovetores da matriz \left(\begin{array}{cc}0 & -\frac{k}{m} \\\\ 1 & 0\end{array}\right). (A partir dessas informações é possível determinar a solução geral do sistema acima.)
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os autovalores e autovetores da matriz
que surge ao escrever o sistema do oscilador harmônico simples em forma matricial. O conteúdo envolvido é autovalores e autovetores de matrizes 2×2. Vamos usar o cálculo do polinômio característico e resolver \det(A-\lambda I)=0, depois achar cada autovetor associado.]