(Oscilador harmônico simples) Consideremos um corpo rígido de massa m preso a uma mola cuja constante de elasticidade é k(>0). Suponhamos que não haja atrito e que a massa da mola seja desprezível em relação à m. Sejam x=x(t) o deslocamento do corpo e v=v(t) a sua velocidade.
Recorde que \frac{d x}{d t}=v e que \frac{d v}{d t}=a. A lei de Hooke (F=-k x) e a 2^{\text {a }} lei de Newton (F=m a) nos levam ao sistema \left\{\begin{array}{l}\frac{d v}{d t}=-\frac{k}{m} x \\\ \frac{d x}{d t}=v\end{array}\right., cuja forma matricial é \binom{\frac{d v}{d t}}{\frac{d x}{d t}}=\left(\begin{array}{cc}0 & -\frac{k}{m} \\\\ 1 & 0\end{array}\right)\binom{v}{x}.
Determine os autovalores e os autovetores da matriz \left(\begin{array}{cc}0 & -\frac{k}{m} \\\\ 1 & 0\end{array}\right). (A partir dessas informações é possível determinar a solução geral do sistema acima.)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os autovalores e autovetores da matriz
A = \begin{pmatrix} 0 & -\frac{k}{m} \\[6pt] 1 & 0 \end{pmatrix}
que surge ao escrever o sistema do oscilador harmônico simples em forma matricial. O conteúdo envolvido é autovalores e autovetores de matrizes 2×2. Vamos usar o cálculo do polinômio característico e resolver \det(A-\lambda I)=0, depois achar cada autovetor associado.]

Passo 2

Escrevemos o polinômio característico de A:
\det\bigl(A - \lambda I\bigr) = \det\begin{pmatrix} -\lambda & -\tfrac{k}{m} \\[4pt] 1 & -\lambda \end{pmatrix} = (-\lambda)(-\lambda) - \bigl(-\tfrac{k}{m}\bigr)\cdot 1 = \lambda^2 + \tfrac{k}{m}.]

Passo 3

Igualando a zero, obtemos
\lambda^2 + \frac{k}{m} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda = \pm i\,\sqrt{\frac{k}{m}}.
Chamando \omega = \sqrt{\tfrac{k}{m}}, temos \lambda_1 = i\omega e \lambda_2 = -\,i\omega.

Passo 4

Para cada \lambda, resolvemos (A - \lambda I)v = 0.
  1. Se \lambda = i\omega,
    a equação é \begin{pmatrix} -\,i\omega & -\omega^2 \\[4pt] 1 & -\,i\omega \end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1\v_2\end{pmatrix} = 0.Da segunda linha vem v_1 = i\omega\,v_2. Tomando v_2=1, obtemos o autovetor v^{(1)} = \begin{pmatrix}i\omega\\[2pt]1\end{pmatrix}.
  2. Se \lambda = -\,i\omega, analogamente v_1 = -\,i\omega\,v_2. Com v_2=1, v^{(2)} = \begin{pmatrix}-\,i\omega\\[2pt]1\end{pmatrix}.]

Resposta

Autovalores:
\lambda_1 = i\,\sqrt{\tfrac{k}{m}}, \quad \lambda_2 = -\,i\,\sqrt{\tfrac{k}{m}}.
Autovetores correspondentes:
v^{(1)} = \begin{pmatrix}i\,\sqrt{\tfrac{k}{m}}\\[2pt]1\end{pmatrix}, \quad v^{(2)} = \begin{pmatrix}-\,i\,\sqrt{\tfrac{k}{m}}\\[2pt]1\end{pmatrix}.]

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