Calcule, se possível, as seguintes integrais impróprias:
\int_{3}^{6} \frac{1}{x^{3} \sqrt{x^{2}-9}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{3}^{6}\frac{1}{x^{3}\sqrt{x^{2}-9}}\,dx.
Este é um caso de integral imprópria porque em x=3 o denominador \sqrt{x^{2}-9} se anula e a função diverge. Para resolver, vamos usar substituição trigonométrica adequada e verificar a convergência.

Passo 2

Analisando o comportamento próximo de x=3, temos \sqrt{x^{2}-9}\approx\sqrt{6}\,\sqrt{x-3}, logo o integrando se comporta como \frac{1}{\sqrt{x-3}}, que é integrável (tipo p-integral com p=\tfrac12<1). Concluímos que a integral converge e podemos prosseguir com a troca
x = 3\operatorname{sec}\theta,
pois \sqrt{x^{2}-9} = 3\tan\theta e \theta\in[0,\pi/2).

Passo 3

Com x=3\operatorname{sec}\theta temos
dx = 3\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta,\qquad \sqrt{x^{2}-9}=3\tan\theta,\qquad x^{3}=27\operatorname{sec}^{3}\theta.
Substituindo no integrando:
\frac{1}{x^{3}\sqrt{x^{2}-9}}\,dx = \frac{1}{27\operatorname{sec}^{3}\theta\;\cdot3\tan\theta}\;\bigl(3\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta\bigr) = \frac{1}{27}\cos^{2}\theta\,d\theta.

Passo 4

Precisamos também trocar os limites. Quando x=3 vem \operatorname{sec}\theta=1\Rightarrow\theta=0. Quando x=6 vem \operatorname{sec}\theta=2\Rightarrow\theta=\arcsec2=\tfrac{\pi}{3}. Portanto
\int_{3}^{6}\frac{1}{x^{3}\sqrt{x^{2}-9}}\,dx = \frac{1}{27}\int_{0}^{\pi/3}\cos^{2}\theta\,d\theta.

Passo 5

Para integrar \cos^{2}\theta, usamos a identidade de redução:
\int\cos^{2}\theta\,d\theta = \int\frac{1+\cos(2\theta)}{2}\,d\theta = \frac{\theta}{2}+\frac{\sin(2\theta)}{4}.
Logo
\int_{0}^{\pi/3}\cos^{2}\theta\,d\theta = \Bigl[\frac{\theta}{2}+\frac{\sin(2\theta)}{4}\Bigr]_{0}^{\pi/3} = \frac{\pi/6}{1}+\frac{\sin(2\pi/3)}{4} = \frac{\pi}{6}+\frac{\sqrt{3}/2}{4} = \frac{\pi}{6}+\frac{\sqrt{3}}{8}.

Passo 6

Multiplicando por 1/27,
\int_{3}^{6}\frac{1}{x^{3}\sqrt{x^{2}-9}}\,dx = \frac{1}{27}\Bigl(\frac{\pi}{6}+\frac{\sqrt{3}}{8}\Bigr) = \frac{\pi}{162}+\frac{\sqrt{3}}{216}.

Resposta

\frac{\pi}{162}+\frac{\sqrt{3}}{216}.

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