Calcule, se possível, as seguintes integrais impróprias:
\int_{1}^{+\infty} \frac{\ln \left(x^{-1}\right)}{x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{1}^{+\infty} \frac{\ln\bigl(x^{-1}\bigr)}{x^{2}}\,dx.
O conteúdo é integral imprópria e vamos precisar testar convergência e usar integração por partes.

Passo 2

Primeiro simplificamos o integrando usando
\ln\bigl(x^{-1}\bigr) = -\ln x,
logo
\frac{\ln\bigl(x^{-1}\bigr)}{x^{2}} = -\,\frac{\ln x}{x^{2}}.
Chamando
I = \int_{1}^{\infty}\frac{\ln\bigl(x^{-1}\bigr)}{x^{2}}\,dx = -\int_{1}^{\infty}\frac{\ln x}{x^{2}}\,dx.

Passo 3

Calculamos a primitiva de \displaystyle \frac{\ln x}{x^{2}} por partes. Seja
u = \ln x,\quad dv = x^{-2}dx
então
du = \frac{1}{x}dx,\quad v = -\frac{1}{x}.
\int \frac{\ln x}{x^{2}}\,dx = u\,v - \int v\,du = -\frac{\ln x}{x} - \int\Bigl(-\frac{1}{x}\Bigr)\frac{1}{x}\,dx = -\frac{\ln x}{x} + \int x^{-2}\,dx.
Como \int x^{-2}dx = -\frac{1}{x}, concluímos
\int \frac{\ln x}{x^{2}}\,dx = -\frac{\ln x}{x} - \frac{1}{x} + C.

Passo 4

Voltando a I, temos
I = -\Bigl[\,-\frac{\ln x}{x} - \frac{1}{x}\Bigr]_{1}^{\infty}.
No limite x\to\infty cada termo \frac{\ln x}{x} e \frac{1}{x} vai a zero. Em x=1
-\frac{\ln 1}{1} - \frac{1}{1} = -1.
Logo o valor entre colchetes é 0-(-1)=1 e
I = -1.

Resposta

-1

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