Informações relevantes que já temos só de olhar a matriz:
A tem 4 linhas e 5 colunas.
O número de colunas é 5; isso será útil para a nulidade (que depende do número de variáveis/colunas).
Passo 2
Primeiro, vou explicar o que são “posto” e “nulidade” de um jeito prático, para você usar na prova:
O posto de A é o número de linhas (ou colunas) linearmente independentes de A. Na prática, quando fazemos eliminação por linhas (Gauss), é o número de pivôs (as primeiras entradas não-nulas de cada linha reduzida).
A nulidade de A é a dimensão do espaço nulo (ou núcleo) de A, isto é, o número de soluções livres do sistema homogêneo A x = 0. Existe uma relação simples e muito útil:
\text{nulidade}(A) = \text{número de colunas} - \text{posto}(A).ú
Aqui a matriz tem 5 colunas, então
\text{nulidade}(A)=5-\text{posto}(A).
Estratégia prática: farei eliminação por linhas para encontrar os pivôs; o número de pivôs é o posto; daí uso a fórmula acima para a nulidade. Vou mostrar cada operação para você conseguir reproduzir na prova.
Passo 3
Começo escrevendo A e vou aplicar operações elementares de linha (troca de linhas, multiplicar linha por escalar não nulo, adicionar múltiplos de uma linha a outra). Matematicamente, é seguro usar essas operações porque não mudam o espaço das soluções de A x = 0 nem o número de pivôs.
Agora identifico os pivôs (as primeiras entradas não-nulas por linha):
Pivô em coluna 1 (linha 1).
Pivô em coluna 2 (linha 2).
Pivô em coluna 3 (linha 3).
Pivô em coluna 5 (linha 4).
Portanto há 4 pivôs distintos. Isso significa que o posto de A é 4. (Observação prática: o posto não pode exceder o número de linhas, que é 4, então obter 4 é o máximo possível aqui.)
Passo 9
Para calcular a nulidade, faço o raciocínio por variáveis do sistema homogêneo A x = 0. Denotando x=(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)^T, as linhas finais equivalem às equações:
Linha 1: x_1 + 2x_4 = 0.
Linha 2: x_2 = 0.
Linha 3: x_3 + 2x_4 = 0.
Linha 4: x_5 = 0.
Aqui a variável que não aparece como pivô é x_4; ou seja, x_4 é livre. Tomando x_4 = t (parâmetro livre), obtemos:
Recapitulando: contei 4 pivôs na redução por linhas, então \text{posto}(A)=4. Com 5 colunas no total, a nulidade é 1. Bora respirar que já era — deu tudo certinho!