Calcule o posto e a nulidade da matriz
A=\left[\begin{array}{ccccc} 1 & 0 & -1 & 0 & 0 \\\\ 2 & 1 & -1 & 2 & 2 \\\\ -1 & 0 & 0 & -2 & -2 \\\\ 1 & 0 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado fornece a matriz A e pede duas coisas: calcular o posto e a nulidade de A. A matriz dada é de ordem 4\times5:
A=\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 & 0 \\\\ 2 & 1 & -1 & 2 & 2 \\\\ -1 & 0 & 0 & -2 & -2 \\\\ 1 & 0 & -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
Informações relevantes que já temos só de olhar a matriz:
  • A tem 4 linhas e 5 colunas.
  • O número de colunas é 5; isso será útil para a nulidade (que depende do número de variáveis/colunas).

Passo 2

Primeiro, vou explicar o que são “posto” e “nulidade” de um jeito prático, para você usar na prova:
  • O posto de A é o número de linhas (ou colunas) linearmente independentes de A. Na prática, quando fazemos eliminação por linhas (Gauss), é o número de pivôs (as primeiras entradas não-nulas de cada linha reduzida).
  • A nulidade de A é a dimensão do espaço nulo (ou núcleo) de A, isto é, o número de soluções livres do sistema homogêneo A x = 0. Existe uma relação simples e muito útil:
\text{nulidade}(A) = \text{número de colunas} - \text{posto}(A).ú
Aqui a matriz tem 5 colunas, então
\text{nulidade}(A)=5-\text{posto}(A).
Estratégia prática: farei eliminação por linhas para encontrar os pivôs; o número de pivôs é o posto; daí uso a fórmula acima para a nulidade. Vou mostrar cada operação para você conseguir reproduzir na prova.

Passo 3

Começo escrevendo A e vou aplicar operações elementares de linha (troca de linhas, multiplicar linha por escalar não nulo, adicionar múltiplos de uma linha a outra). Matematicamente, é seguro usar essas operações porque não mudam o espaço das soluções de A x = 0 nem o número de pivôs.
Matriz inicial:
\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 & 0 \\\\ 2 & 1 & -1 & 2 & 2 \\\\ -1 & 0 & 0 & -2 & -2 \\\\ 1 & 0 & -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}.

Passo 4

Usarei o elemento a_{11}=1 como pivô da primeira coluna e zerarei os elementos abaixo dele na coluna 1.
Operações:
  • R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1.
  • R_3 \leftarrow R_3 + R_1.
  • R_4 \leftarrow R_4 - R_1.
Calculemos cada linha:
  • R_2: [2,1,-1,2,2] - 2\cdot[1,0,-1,0,0] = [0,1,1,2,2].
  • R_3: [-1,0,0,-2,-2] + [1,0,-1,0,0] = [0,0,-1,-2,-2].
  • R_4: [1,0,-1,0,1] - [1,0,-1,0,0] = [0,0,0,0,1].
Matriz resultante:
\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1 & 2 & 2 \\\\ 0 & 0 & -1 & -2 & -2 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.

Passo 5

Agora olho para a terceira linha: tem -1 em coluna 3 . Faço R_3 \leftarrow -R_3 para ter pivô positivo 1.
Depois:
R_3 = -[0,0,-1,-2,-2] = [0,0,1,2,2].
A matriz fica:
\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1 & 2 & 2 \\\\ 0 & 0 & 1 & 2 & 2 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.

Passo 6

Uso o pivô em R_3 (coluna 3) para zerar as entradas na coluna 3 das outras linhas que não são o pivô (ou seja, em R_1 e R_2).
Operações:
  • R_1 \leftarrow R_1 + R_3 porque R_1 tem -1 na coluna 3.
  • R_2 \leftarrow R_2 - R_3 porque R_2 tem +1 na coluna 3.
Calculemos:
  • R_1: [1,0,-1,0,0] + [0,0,1,2,2] = [1,0,0,2,2].
  • R_2: [0,1,1,2,2] - [0,0,1,2,2] = [0,1,0,0,0].
Matriz agora:
\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 & 2 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 2 & 2 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.

Passo 7

Observando a quarta linha R_4=[0,0,0,0,1], temos um pivô óbvio na coluna 5. Quero zerar as entradas acima desse pivô (coluna 5 nas linhas R_1 e R_3):
Operações:
  • R_1 \leftarrow R_1 - 2R_4.
  • R_3 \leftarrow R_3 - 2R_4.
Calculemos:
  • R_1: [1,0,0,2,2] - 2\cdot[0,0,0,0,1] = [1,0,0,2,0].
  • R_3: [0,0,1,2,2] - 2\cdot[0,0,0,0,1] = [0,0,1,2,0].
Matriz final (em forma escalonada reduzida suficiente para contar pivôs):
\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.

Passo 8

Agora identifico os pivôs (as primeiras entradas não-nulas por linha):
  • Pivô em coluna 1 (linha 1).
  • Pivô em coluna 2 (linha 2).
  • Pivô em coluna 3 (linha 3).
  • Pivô em coluna 5 (linha 4).
Portanto há 4 pivôs distintos. Isso significa que o posto de A é 4. (Observação prática: o posto não pode exceder o número de linhas, que é 4, então obter 4 é o máximo possível aqui.)

Passo 9

Para calcular a nulidade, faço o raciocínio por variáveis do sistema homogêneo A x = 0. Denotando x=(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)^T, as linhas finais equivalem às equações:
  • Linha 1: x_1 + 2x_4 = 0.
  • Linha 2: x_2 = 0.
  • Linha 3: x_3 + 2x_4 = 0.
  • Linha 4: x_5 = 0.
Aqui a variável que não aparece como pivô é x_4; ou seja, x_4 é livre. Tomando x_4 = t (parâmetro livre), obtemos:
x_1 = -2t,\quad x_2 = 0,\quad x_3 = -2t,\quad x_4 = t,\quad x_5 = 0.
Assim o espaço solução tem uma dimensão (um parâmetro t), logo a nulidade é 1.
Também pela fórmula direta:
\text{nulidade}(A) = \text{número de colunas} - \text{posto}(A) = 5 - 4 = 1.ú

Passo 10

Recapitulando: contei 4 pivôs na redução por linhas, então \text{posto}(A)=4. Com 5 colunas no total, a nulidade é 1. Bora respirar que já era — deu tudo certinho!

Resposta

\text{posto}(A)=4
\text{nulidade}(A)=1

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