Encontre o núcleo de cada transformação linear:
.
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear
definida por
O que se pede: encontrar o núcleo (ou kernel) de
, isto é, determinar o conjunto de todos os vetores
que são levados ao vetor nulo pela transformação
.
Passo 2
O que é o núcleo de uma transformação linear? Vou explicar com calma: o núcleo de
, denotado por
, é o conjunto
onde
é o vetor nulo
. Na prática, para achar
a gente escreve a equação
e resolve o sistema resultante para
.
Passo 3
Escrevendo
com a expressão dada:
Disso obtemos o sistema de equações componentes a componentes:
Passo 4
Agora resolvemos cada equação do sistema, uma a uma. A primeira dá
A segunda dá
A terceira dá
Portanto, os únicos valores de
que satisfazem
são
,
e
.
Passo 5
Interpretando o que achamos: a única solução é o vetor nulo
. Isso significa que não existe nenhum vetor não nulo que seja enviado para
por
. Em termos de teoria, isso quer dizer que
é trivial (contém apenas o vetor zero) e, por consequência,
é injetora.