Encontre o núcleo de cada transformação linear:
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, T(x, y, z)=(-z,-y,-x).

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} definida por
T(x,y,z)=(-z,-y,-x).
O que se pede: encontrar o núcleo (ou kernel) de T, isto é, determinar o conjunto de todos os vetores (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 que são levados ao vetor nulo pela transformação T.

Passo 2

O que é o núcleo de uma transformação linear? Vou explicar com calma: o núcleo de T, denotado por \ker(T), é o conjunto
\ker(T)=\{v\in\mathbb{R}^3 \mid T(v)=\mathbf{0}\},
onde \mathbf{0} é o vetor nulo (0,0,0). Na prática, para achar \ker(T) a gente escreve a equação T(x,y,z)=\mathbf{0} e resolve o sistema resultante para x,y,z.

Passo 3

Escrevendo T(x,y,z)=\mathbf{0} com a expressão dada:
T(x,y,z)=(-z,-y,-x)=(0,0,0).
Disso obtemos o sistema de equações componentes a componentes:
-z=0,\qquad -y=0,\qquad -x=0.

Passo 4

Agora resolvemos cada equação do sistema, uma a uma. A primeira dá
-z=0\quad\Rightarrow\quad z=0.
A segunda dá
-y=0\quad\Rightarrow\quad y=0.
A terceira dá
-x=0\quad\Rightarrow\quad x=0.
Portanto, os únicos valores de x,y,z que satisfazem T(x,y,z)=\mathbf{0} são x=0, y=0 e z=0.

Passo 5

Interpretando o que achamos: a única solução é o vetor nulo (0,0,0). Isso significa que não existe nenhum vetor não nulo que seja enviado para \mathbf{0} por T. Em termos de teoria, isso quer dizer que \ker(T) é trivial (contém apenas o vetor zero) e, por consequência, T é injetora.

Resposta

\ker(T)=\{(0,0,0)\}

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