Determine se T é injetora, sobrejetora, ambas, ou nenhuma das duas:
T: \mathbb{R}^{5} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, T(x)=A x, em que
A=\left[\begin{array}{ccccc} -1 & 3 & 2 & 1 & 4 \\\\ 2 & 3 & 5 & 0 & 0 \\\\ 2 & 1 & 2 & 1 & 0 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^{5}\to\mathbb{R}^{3} definida por T(x)=Ax, com a matriz
A=\begin{pmatrix} -1 & 3 & 2 & 1 & 4 \\\\ 2 & 3 & 5 & 0 & 0 \\\\ 2 & 1 & 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
O que o enunciado pede: determinar se T é injetora, sobrejetora, ambas, ou nenhuma das duas.
Informações úteis que já temos do enunciado:
  • A é uma matriz de tamanho 3\times5 (3 linhas e 5 colunas).
  • O domínio de T tem dimensão 5 e o contradomínio tem dimensão 3.

Passo 2

Conceitos e ferramentas que vou usar (explicação didática):
  • Para uma transformação linear T(x)=Ax:
    • A imagem de T é o espaço gerado pelas colunas de A. A dimensão da imagem chama-se \emph{posto} ou \emph{rank} de A, denote por \operatorname{rank}(A).
    • O núcleo (ou núcleo) de T é o conjunto dos vetores x tais que Ax=0. A dimensão do núcleo chama-se \emph{nulidade} ou \dim\ker(A).
  • Teorema fundamental (rank-nullity): para A de tamanho m\times n (aqui m=3,n=5): \dim(\text{domínio}) = \operatorname{rank}(A) + \dim\ker(A),íisto é n = \operatorname{rank}(A) + \dim\ker(A).
  • Relação com injetividade/sobrejetividade:
    • T é injetora iff \ker(A)=\{0\}, isto é, iff \dim\ker(A)=0. Pelo rank-nullity, isso ocorre quando \operatorname{rank}(A)=n (número de colunas). Aqui isso seria \operatorname{rank}(A)=5.
    • T é sobrejetora iff \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^{3}, ou seja, \operatorname{rank}(A)=\dim(\mathbb{R}^{3})=3.
  • Observação imediata: uma matriz 3\times5 tem posto no máximo 3 (não pode ter posto 5). Portanto já podemos antever que \operatorname{rank}(A)\le3<5, logo \operatorname{rank}(A)\neq5 e, consequentemente, T não pode ser injetora. Mas ainda precisamos verificar se \operatorname{rank}(A)=3 (para concluir sobrejetividade) ou se é menor (então não seria sobrejetora). Vou calcular o posto de A por eliminação de Gauss.

Passo 3

Cálculo do posto (eliminação de Gauss) — mostro passo a passo os pivôs e operações elementares.
Matriz inicial:
A=\begin{pmatrix} -1 & 3 & 2 & 1 & 4 \\\\ 2 & 3 & 5 & 0 & 0 \\\\ 2 & 1 & 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
Faço as operações: R_2 \leftarrow R_2 + 2R_1 e R_3 \leftarrow R_3 + 2R_1. Isso elimina a primeira coluna nas linhas 2 e 3 (porque 2 + 2(-1)=0):
\begin{pmatrix} -1 & 3 & 2 & 1 & 4 \\\\ 0 & 9 & 9 & 2 & 8 \\\\ 0 & 7 & 6 & 3 & 8 \end{pmatrix}.
Agora uso o pivô da segunda linha (o 9 na posição (2,2)) para zerar a entrada abaixo: R_3 \leftarrow R_3 - \tfrac{7}{9}R_2. Isso dá:
\begin{pmatrix} -1 & 3 & 2 & 1 & 4 \\\\ 0 & 9 & 9 & 2 & 8 \\\\ 0 & 0 & -1 & 13/9 & 16/9 \end{pmatrix}.
Neste estágio já vemos três linhas não nulas e uma forma triangular com um pivô não nulo na terceira linha ( -1 em (3,3)). Isso mostra que há três pivôs distintos (colunas 1, 2 e 3), então \operatorname{rank}(A)\ge 3. Como o posto não pode exceder 3 (número de linhas), concluímos que
\operatorname{rank}(A)=3.
Se quiser, podemos levar à forma reduzida para encontrar a nulidade explicitamente. Escalo e elimino para obter a forma reduzida (mostro rapidamente os passos de normalização e eliminação acima das posições pivô):
  • Divido a linha 2 por 9 e multiplico a linha 3 por -1, depois elimino as entradas acima dos pivôs; o resultado em forma reduzida é
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 10/9 & 4/9 \\\\ 0 & 1 & 0 & 5/3 & 8/3 \\\\ 0 & 0 & 1 & -13/9 & -16/9 \end{pmatrix}.
Aqui os pivôs estão nas colunas 1, 2 e 3; as colunas 4 e 5 são livres.

Passo 4

Interpretação do posto em termos de injetividade/sobrejetividade e nulidade:
  • Como mostramos, \operatorname{rank}(A)=3.
  • Domínio tem dimensão n=5. Pela fórmula rank-nullity, \dim\ker(A) = n - \operatorname{rank}(A) = 5 - 3 = 2.Então o núcleo tem dimensão 2, isto é, existem vetores não nulos em \ker(A). Logo T não é injetora (porque injetividade exigiria \dim\ker(A)=0).
  • Como \operatorname{rank}(A)=3 e o contradomínio \mathbb{R}^{3} tem dimensão 3, a imagem de T tem dimensão igual à do contradomínio; portanto \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^{3} e T é sobrejetora.
Para ficar ainda mais concreto, escrevo a solução geral de Ax=0 a partir da forma reduzida: chamando x=(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)^T e tomando x_4=s,\\ x_5=t como parâmetros livres, as equações das linhas em forma reduzida dão
\begin{aligned} x_1 &= -\tfrac{10}{9}s - \tfrac{4}{9}t,\\[4pt] x_2 &= -\tfrac{5}{3}s - \tfrac{8}{3}t,\\[4pt] x_3 &= \tfrac{13}{9}s + \tfrac{16}{9}t,\\[4pt] x_4 &= s,\quad x_5 = t. \end{aligned}
Assim a nulidade é 2 e, por exemplo, escolhendo s=9,t=0 e s=0,t=9 obtemos dois vetores não nulos e linearmente independentes no núcleo:
v_1=\begin{pmatrix}-10\\\ -15\\\ 13\\\ 9\\\ 0\end{pmatrix},\qquad v_2=\begin{pmatrix}-4\\\ -24\\\ 16\\\ 0\\\ 9\end{pmatrix},
confirmando explicitamente que \ker(A)\neq\{0\}.]

Resposta

T é sobrejetora e não injetora.

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