O que o enunciado pede: determinar se T é injetora, sobrejetora, ambas, ou nenhuma das duas.
Informações úteis que já temos do enunciado:
A é uma matriz de tamanho 3\times5 (3 linhas e 5 colunas).
O domínio de T tem dimensão 5 e o contradomínio tem dimensão 3.
Passo 2
Conceitos e ferramentas que vou usar (explicação didática):
Para uma transformação linear T(x)=Ax:
A imagem de T é o espaço gerado pelas colunas de A. A dimensão da imagem chama-se \emph{posto} ou \emph{rank} de A, denote por \operatorname{rank}(A).
O núcleo (ou núcleo) de T é o conjunto dos vetores x tais que Ax=0. A dimensão do núcleo chama-se \emph{nulidade} ou \dim\ker(A).
Teorema fundamental (rank-nullity): para A de tamanho m\times n (aqui m=3,n=5):\dim(\text{domínio}) = \operatorname{rank}(A) + \dim\ker(A),íisto én = \operatorname{rank}(A) + \dim\ker(A).
Relação com injetividade/sobrejetividade:
T é injetora iff \ker(A)=\{0\}, isto é, iff \dim\ker(A)=0. Pelo rank-nullity, isso ocorre quando \operatorname{rank}(A)=n (número de colunas). Aqui isso seria \operatorname{rank}(A)=5.
T é sobrejetora iff \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^{3}, ou seja, \operatorname{rank}(A)=\dim(\mathbb{R}^{3})=3.
Observação imediata: uma matriz 3\times5 tem posto no máximo 3 (não pode ter posto 5). Portanto já podemos antever que \operatorname{rank}(A)\le3<5, logo \operatorname{rank}(A)\neq5 e, consequentemente, T não pode ser injetora. Mas ainda precisamos verificar se \operatorname{rank}(A)=3 (para concluir sobrejetividade) ou se é menor (então não seria sobrejetora). Vou calcular o posto de A por eliminação de Gauss.
Passo 3
Cálculo do posto (eliminação de Gauss) — mostro passo a passo os pivôs e operações elementares.
Neste estágio já vemos três linhas não nulas e uma forma triangular com um pivô não nulo na terceira linha (-1 em (3,3)). Isso mostra que há três pivôs distintos (colunas 1, 2 e 3), então \operatorname{rank}(A)\ge 3. Como o posto não pode exceder 3 (número de linhas), concluímos que
\operatorname{rank}(A)=3.
Se quiser, podemos levar à forma reduzida para encontrar a nulidade explicitamente. Escalo e elimino para obter a forma reduzida (mostro rapidamente os passos de normalização e eliminação acima das posições pivô):
Divido a linha 2 por 9 e multiplico a linha 3 por -1, depois elimino as entradas acima dos pivôs; o resultado em forma reduzida é
Aqui os pivôs estão nas colunas 1, 2 e 3; as colunas 4 e 5 são livres.
Passo 4
Interpretação do posto em termos de injetividade/sobrejetividade e nulidade:
Como mostramos, \operatorname{rank}(A)=3.
Domínio tem dimensão n=5. Pela fórmula rank-nullity,\dim\ker(A) = n - \operatorname{rank}(A) = 5 - 3 = 2.Então o núcleo tem dimensão 2, isto é, existem vetores não nulos em \ker(A). Logo T não é injetora (porque injetividade exigiria \dim\ker(A)=0).
Como \operatorname{rank}(A)=3 e o contradomínio \mathbb{R}^{3} tem dimensão 3, a imagem de T tem dimensão igual à do contradomínio; portanto \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^{3} e T é sobrejetora.
Para ficar ainda mais concreto, escrevo a solução geral de Ax=0 a partir da forma reduzida: chamando x=(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)^T e tomando x_4=s,\\ x_5=t como parâmetros livres, as equações das linhas em forma reduzida dão