Calcule a potência
(1+i \sqrt{3})^{9}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede-se calcular a potência (1+i\sqrt{3})^{9}.
  • A informação dada é o número complexo 1+i\sqrt{3} e o expoente 9.
  • Objetivo final: obter o valor de (1+i\sqrt{3})^{9} como um número complexo (provavelmente um número real neste caso).

Passo 2

Escolha do método e preparação (explicação didática do que vamos usar).
  • Para elevar um número complexo a uma potência inteira, a forma trigonométrica (ou forma polar) é geralmente a mais simples: escreve-se o número como r(\cos\theta+i\sin\theta) e usa-se o Teorema de De Moivre.
  • O módulo r de um complexo a+ib é dado por r=\sqrt{a^{2}+b^{2}}. Aqui a=1 e b=\sqrt{3}.
  • O argumento \theta é o ângulo tal que \tan\theta=\dfrac{b}{a}, tomando o quadrante correto de acordo com os sinais de a e b.
Calculemos r e \theta para 1+i\sqrt{3}.
r=\sqrt{1^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2.
\tan\theta=\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}\quad\Rightarrow\quad \theta=\frac{\pi}{3},
porque a=1>0 e b=\sqrt{3}>0 (primeiro quadrante), então o argumento principal é \theta=\dfrac{\pi}{3}.
Portanto podemos escrever
1+i\sqrt{3}=2\bigl(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\bigr).

Passo 3

Teorema de De Moivre (explicação didática).
  • O Teorema de De Moivre diz que, para r\ge0, \theta\in\mathbb{R} e n inteiro,
\bigl(r(\cos\theta+i\sin\theta)\bigr)^{n}=r^{n}\bigl(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)\bigr).
  • Aqui r é o módulo e \theta o argumento; elevar ao expoente n corresponde a elevar o módulo a n e multiplicar o ângulo por n.
Apliquemos com r=2, \theta=\dfrac{\pi}{3} e n=9.
(1+i\sqrt{3})^{9}=\bigl[2(\cos\tfrac{\pi}{3}+i\sin\tfrac{\pi}{3})\bigr]^{9}=2^{9}\bigl(\cos(9\cdot\tfrac{\pi}{3})+i\sin(9\cdot\tfrac{\pi}{3})\bigr).
Calculemos 2^{9} e 9\cdot\tfrac{\pi}{3}.
2^{9}=512, \qquad 9\cdot\frac{\pi}{3}=3\pi.

Passo 4

Avaliação das funções trigonométricas e periodicidade (explicação didática).
  • As funções trigonométricas são periódicas com período 2\pi: \cos(\varphi+2k\pi)=\cos\varphi e \sin(\varphi+2k\pi)=\sin\varphi para qualquer inteiro k.
  • Podemos usar isso para simplificar \cos(3\pi) e \sin(3\pi). Note que 3\pi=\pi+2\pi, logo
\cos(3\pi)=\cos(\pi)=-1, \qquad \sin(3\pi)=\sin(\pi)=0.
Substituindo em nossa expressão:
(1+i\sqrt{3})^{9}=512\bigl(\cos(3\pi)+i\sin(3\pi)\bigr)=512(-1+i\cdot 0)= -512.

Passo 5

Interpretação final e checagem rápida.
  • O resultado é um número real negativo: -512.
  • Checagem intuítiva: 1+i\sqrt{3} tem módulo 2 e argumento \pi/3. Multiplicar o argumento por 9 3\pi, que corresponde ao ponto oposto ao eixo positivo real, daí resultado real negativo com módulo 2^{9}=512.

Resposta

-512

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