Calcule a potência
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Pede-se calcular a potência
. - A informação dada é o número complexo
e o expoente . - Objetivo final: obter o valor de
como um número complexo (provavelmente um número real neste caso).
Passo 2
Escolha do método e preparação (explicação didática do que vamos usar).
- Para elevar um número complexo a uma potência inteira, a forma trigonométrica (ou forma polar) é geralmente a mais simples: escreve-se o número como
e usa-se o Teorema de De Moivre. - O módulo
de um complexo é dado por . Aqui e . - O argumento
é o ângulo tal que , tomando o quadrante correto de acordo com os sinais de e .
Calculemos
e
para
.
porque
e
(primeiro quadrante), então o argumento principal é
.
Portanto podemos escrever
Passo 3
Teorema de De Moivre (explicação didática).
- O Teorema de De Moivre diz que, para
, e inteiro,
- Aqui
é o módulo e o argumento; elevar ao expoente corresponde a elevar o módulo a e multiplicar o ângulo por .
Apliquemos com
,
e
.
Calculemos
e
.
Passo 4
Avaliação das funções trigonométricas e periodicidade (explicação didática).
- As funções trigonométricas são periódicas com período
: e para qualquer inteiro . - Podemos usar isso para simplificar
e . Note que , logo
Substituindo em nossa expressão:
Passo 5
Interpretação final e checagem rápida.
- O resultado é um número real negativo:
. - Checagem intuítiva:
tem módulo e argumento . Multiplicar o argumento por dá , que corresponde ao ponto oposto ao eixo positivo real, daí resultado real negativo com módulo .