Calcule a potência média dissipada em um resistor de 10 \Omega com uma corrente i(t)= 5 \cos (100 t) A.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos: calcular a potência média dissipada em um resistor quando a corrente que o atravessa é dada. Dados fornecidos:
  • Resistência: R=10\\ \Omega.
  • Corrente instantânea: i(t)=5\cos(100t) A.
A pergunta é: qual é a potência média dissipada no resistor devido a essa corrente ao longo do tempo?

Passo 2

Conceito importante (aulas rápidas antes de calcular): a potência instantânea dissipada num resistor ôhmico é dada por
p(t)=R\;i^2(t),
onde:
  • p(t) é a potência instantânea (em watts) no instante t,
  • R é a resistência (em ohms),
  • i(t) é a corrente instantânea (em amperes).
A potência média \overline{P} ao longo do tempo, para um sinal periódico, é o valor médio de p(t) num período T:
\overline{P}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T} p(t)\,dt.

Passo 3

Substituindo i(t)=5\cos(100t) na fórmula da potência instantânea:
p(t)=R\bigl(5\cos(100t)\bigr)^2.
Calcular o quadrado e multiplicar por R:
p(t)=10\cdot 25\cos^2(100t)=250\cos^2(100t).

Passo 4

Para obter a média, usamos a identidade trigonométrica
\cos^2\theta=\frac{1+\cos(2\theta)}{2}.
Aplicando com \theta=100t:
p(t)=250\cdot\frac{1+\cos(200t)}{2}=125\bigl(1+\cos(200t)\bigr).
Agora a média em um período T (qualquer período do sinal quadrático) de \cos(200t) é zero, porque \cos tem média nula ao longo de um período inteiro. Assim, a média de p(t) é apenas a média de 125\cdot 1, ou seja:
\overline{P}=125\\ \text{W}.

Passo 5

Verificação alternativa (método RMS, útil para prova): a potência média em resistor também pode ser escrita como
\overline{P}=R\,I_{\text{rms}}^{2},
onde I_{\text{rms}} é a corrente eficaz. Para uma senóide i(t)=I_{\text{p}}\cos(\omega t) vale
I_{\text{rms}}=\frac{I_{\text{p}}}{\sqrt{2}}.
Aqui I_{\text{p}}=5 A, então
I_{\text{rms}}=\frac{5}{\sqrt{2}}.
Logo
\overline{P}=10\left(\frac{5}{\sqrt{2}}\right)^{2}=10\cdot\frac{25}{2}=125\\ \text{W},
confirmando o resultado.

Resposta

125 W

Exercícios relacionados