Calcule a potência média dissipada em um resistor de 10 \Omega com uma corrente i(t)= 5 \cos (100 t) A.
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que temos: calcular a potência média dissipada em um resistor quando a corrente que o atravessa é dada. Dados fornecidos:
Resistência: R=10\\ \Omega.
Corrente instantânea: i(t)=5\cos(100t) A.
A pergunta é: qual é a potência média dissipada no resistor devido a essa corrente ao longo do tempo?
Passo 2
Conceito importante (aulas rápidas antes de calcular): a potência instantânea dissipada num resistor ôhmico é dada por
p(t)=R\;i^2(t),
onde:
p(t) é a potência instantânea (em watts) no instante t,
R é a resistência (em ohms),
i(t) é a corrente instantânea (em amperes).
A potência média \overline{P} ao longo do tempo, para um sinal periódico, é o valor médio de p(t) num período T:
\overline{P}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T} p(t)\,dt.
Passo 3
Substituindo i(t)=5\cos(100t) na fórmula da potência instantânea:
p(t)=R\bigl(5\cos(100t)\bigr)^2.
Calcular o quadrado e multiplicar por R:
p(t)=10\cdot 25\cos^2(100t)=250\cos^2(100t).
Passo 4
Para obter a média, usamos a identidade trigonométrica
Agora a média em um período T (qualquer período do sinal quadrático) de \cos(200t) é zero, porque \cos tem média nula ao longo de um período inteiro. Assim, a média de p(t) é apenas a média de 125\cdot 1, ou seja:
\overline{P}=125\\ \text{W}.
Passo 5
Verificação alternativa (método RMS, útil para prova): a potência média em resistor também pode ser escrita como
\overline{P}=R\,I_{\text{rms}}^{2},
onde I_{\text{rms}} é a corrente eficaz. Para uma senóide i(t)=I_{\text{p}}\cos(\omega t) vale