(1 ponto) Dada a tensão v(t)=100 \cos \left(314 t+45^{\circ}\right), determine sua representação fasorial.

Passo 1

O enunciado dá a tensão no domínio do tempo
v(t)=100\cos\!\left(314\,t+45^\circ\right).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A amplitude de pico (valor máximo) é V_m=100.
  • A frequência angular é \omega=314\\ \text{rad/s}.
  • A fase é \varphi=45^\circ.
    O que o enunciado pede: a representação fasorial dessa tensão (ou seja, o número complexo que representa magnitude e fase da senóide no domínio fasorial).

Passo 2

O que é um fasor (explicação didática e sem mistério).
  • Um fasor é uma forma compacta de representar uma senóide senoidal de mesma frequência por sua magnitude e fase, descartando a dependência explícita em t. Em vez de escrever a função no tempo, escreve-se um número complexo (ou a forma polar) que contém a amplitude e a fase.
  • Se a função no tempo é v(t)=V_m\cos(\omega t+\varphi), a forma de pico (ou fasor de amplitude de pico) é
\tilde{V}_{\text{pico}}=V_m\angle\varphi = V_m e^{j\varphi}.
Aqui j é a unidade imaginária ( j^2=-1) e \angle\varphi indica a representação em forma polar (módulo e argumento).
  • Em muitas análises de circuitos usa-se o fasor em valores eficazes (RMS). A relação entre pico e RMS é
V_{\text{rms}}=\frac{V_m}{\sqrt{2}}.
Então o fasor em RMS é
\tilde{V}=V_{\text{rms}}\angle\varphi=\frac{V_m}{\sqrt{2}}\angle\varphi.
Observação prática: o fasor não inclui a parte \cos(\omega t+\cdot) — assume-se que todas as grandezas têm a mesma \omega.

Passo 3

Qual convenção usar aqui? Muitas disciplinas de circuitos pedem o fasor em valores RMS (é a convenção mais comum porque facilita cálculos de potência). Vou então apresentar o fasor em RMS, e ao final mostro a forma de pico caso precise.

Passo 4

Aplicando as fórmulas aos números dados:
  • V_m=100.
  • Calcular o valor RMS:
V_{\text{rms}}=\frac{V_m}{\sqrt{2}}=\frac{100}{\sqrt{2}}=50\sqrt{2}\approx 70,71.
  • A fase é \varphi=45^\circ.
Portanto o fasor em RMS é
\tilde{V}=50\sqrt{2}\angle45^\circ\approx 70,71\angle45^\circ\\ \text{V}.

Passo 5

Comentário final rápido (ajuda para a prova):
  • Se a questão quisesse o fasor na forma de pico, seria simplesmente \tilde{V}_{\text{pico}}=100\angle45^\circ\\ \text{V}.
  • A frequência associada (não entra no fasor, mas é útil saber) é f=\dfrac{\omega}{2\pi}=\dfrac{314}{2\pi}\approx50\\ \text{Hz}.

Resposta

\tilde{V}=70,71\angle45^\circ\\ \text{V (valor eficaz, RMS)}

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