Calcule o potencial eletródico resultante da mistura de 50,00 \mathrm{~mL} de uma solução de \mathrm{U}^{4+} 0,050 \mathrm{~mol} / \mathrm{L} com os seguintes volumes de solução de \mathrm{MnO}_{4}^{-} 0,02 \mathrm{~mol} / \mathrm{L} : Observação: Considere \left[\mathrm{H}^{+}\right]=1,00 \mathrm{~mol} / \mathrm{L}

Dados:

\begin{aligned} \mathrm{CO}_{2}^{2+}+4 \mathrm{H}^{+}+2 \mathrm{e}^{-} \rightleftharpoons \mathrm{U}^{4+}+2 \mathrm{H}_{2} \mathrm{O} & \mathrm{E}^{0}=0,334 \mathrm{~V} \\\ \mathrm{MnO}^{-}+8 \mathrm{H}^{+}+5 \mathrm{e}^{-} \rightleftharpoons \mathrm{Mn}^{2+}+4 \mathrm{H}_{2} \mathrm{O} & \mathrm{E}^{0}=1,510 \mathrm{~V} \end{aligned}
60,0 \mathrm{~mL}

Passo 1

O enunciado pede o potencial resultante ao misturar 50{,}00\text{ mL} de solução de U^{4+} 0{,}050\text{ mol/L} com 60{,}0\text{ mL} de solução de MnO_{4}^{-} 0{,}020\text{ mol/L}, em meio com [\!H^+\!]=1{,}00\text{ mol/L}. As meias‐reações são:
\begin{aligned} &\text{ánodo (oxidação):} \quad UO_{2}^{2+}+4H^+ +2e^- \rightleftharpoons U^{4+}+2H_2O, \quad E^0=0{,}334\text{ V},\\\ &\text{cátodo (redução):} \quad MnO_{4}^{-}+8H^+ +5e^- \rightleftharpoons Mn^{2+}+4H_2O, \quad E^0=1{,}510\text{ V}. \end{aligned}áçãáçã
Vamos ( 1) calcular as quantidades iniciais, ( 2) determinar reagente limitante e concentrações finais, ( 3) usar a Nernst para o par que sobra em solução.

Passo 2

Calculemos as mols iniciais:
n(U^{4+}) = 0{,}050\;\frac{\text{mol}}{\text{L}}\times 0{,}050\;\text{L} = 2{,}50\times10^{-3}\text{ mol},
n(MnO_{4}^{-}) = 0{,}020\;\frac{\text{mol}}{\text{L}}\times 0{,}060\;\text{L} = 1{,}20\times10^{-3}\text{ mol}.

Passo 3

A reação global (balanceada) consome 5 mol de U^{4+} por 2 mol de MnO_{4}^{-}. Logo, a “unidade” reação é:
5\,U^{4+} +2\,MnO_{4}^{-} \longrightarrow 5\,UO_{2}^{2+} +2\,Mn^{2+} +4\,H^+ +2\,H_2O.
Número de unidades disponíveis:
\frac{n(U^{4+})}{5} = \frac{2{,}50\times10^{-3}}{5} = 0{,}50\times10^{-3},\quad \frac{n(MnO_{4}^-)}{2} = \frac{1{,}20\times10^{-3}}{2} = 0{,}60\times10^{-3}.
Portanto U^{4+} é limitante e se consome todo ( n=2{,}50\times10^{-3} mol). O excedente de permanganato é
n_{\rm sobra}(MnO_{4}^{-}) =1{,}20\times10^{-3}-2\times0{,}50\times10^{-3} =0{,}20\times10^{-3}\text{ mol}.
Produzimos simultaneamente
n(Mn^{2+})=2\times0{,}50\times10^{-3}=1{,}00\times10^{-3}\text{ mol}.

Passo 4

Volume total após mistura:
V_{\rm tot}=50{,}00\text{ mL}+60{,}0\text{ mL}=110{,}0\text{ mL}=0{,}110\text{ L}.
Concentrações finais dos pares que permanecem (e que definem o potencial):
[MnO_{4}^{-}] = \frac{0{,}20\times10^{-3}}{0{,}110} = 1{,}818\times10^{-3}\text{ M},\quad [Mn^{2+}] = \frac{1{,}00\times10^{-3}}{0{,}110} = 9{,}09\times10^{-3}\text{ M}.
Mantém-se [\!H^+\!]=1{,}00\text{ M}.

Passo 5

Como só sobra permanganato e manganês(II), o potencial em circuito aberto é dado pelo par
MnO_{4}^{-}/Mn^{2+}. A Nernst, a 25^\circ\text{C}, é:
E = E^0 - \frac{0{,}05916}{n}\log\!\biggl(\frac{[Mn^{2+}]}{[MnO_{4}^{-}]\,[H^+]^8}\biggr), \quad n=5.
Substituindo valores:
E = 1{,}510 - \frac{0{,}05916}{5}\,\log\!\Bigl(\frac{9{,}09\times10^{-3}}{1{,}818\times10^{-3}\times1^8}\Bigr).
Note que \frac{9{,}09\times10^{-3}}{1{,}818\times10^{-3}}=5.

Passo 6

Calculemos numericamente:
E = 1{,}510 -0{,}011832\;\log(5) =1{,}510 -0{,}011832\times0{,}6990 \approx 1{,}510-0{,}00827 =1{,}5017\text{ V}.

Resposta

E \approx 1{,}502\text{ V}.

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