Calcule o potencial resultante da mistura de 50,00 \mathrm{~mL} de uma solução de \mathrm{U}^{4+} 0,050 \mathrm{~mol} / \mathrm{L} com os seguintes volumes de solução de \mathrm{MnO}_{4}^{-} 0,020 \mathrm{~mol} / \mathrm{L} : Considere \left[\mathrm{H}^{+}\right]=1,00 \mathrm{~mol} / \mathrm{L}
Dados:
\mathrm{UO}_{2}{ }^{2-}+4 \mathrm{H}^{+}+2 \mathrm{e}^{-} \rightleftharpoons \mathrm{U}^{4+}+2 \mathrm{H}_{2} \mathrm{O} \quad \mathrm{E}^{\circ}=0,334 \mathrm{~V}
\mathrm{MnO}_{4}^{-}+8 \mathrm{H}^{+}+5 \mathrm{e}^{-} \rightleftharpoons \mathrm{Mn}^{2+}+4 \mathrm{H}_{2} \mathrm{O} \quad \mathrm{E}^{\circ}=1,510 \mathrm{~V}
c) 60,00 \mathrm{~mL}(\mathrm{E}=1,500 \mathrm{~V})

Passo 1

O que o problema pede: calcular o potencial resultante da mistura de \,50{,}00\\ \mathrm{mL} de uma solução de \mathrm{U}^{4+} \,0{,}050\\ \mathrm{mol/L} com \,60{,}00\\ \mathrm{mL} de uma solução de \mathrm{MnO}_{4}^{-} \,0{,}020\\ \mathrm{mol/L}, considerando \left[\mathrm{H}^{+}\right]=1{,}00\\ \mathrm{mol/L}. Dados fornecidos (copiados do enunciado):
\mathrm{UO}_{2}^{2-}+4\mathrm{H}^{+}+2\mathrm{e}^{-}\rightleftharpoons\mathrm{U}^{4+}+2\mathrm{H}_{2}\mathrm{O}\quad E^{\circ}=0{,}334\\ \mathrm{V}
\mathrm{MnO}_{4}^{-}+8\mathrm{H}^{+}+5\mathrm{e}^{-}\rightleftharpoons\mathrm{Mn}^{2+}+4\mathrm{H}_{2}\mathrm{O}\quad E^{\circ}=1{,}510\\ \mathrm{V}
O enunciado dá todas as quantidades e os potenciais padrão; não há figura nem outra informação adicional.

Passo 2

Identificar quem é agente oxidante e quem é agente redutor.
  • A meia-reação do permanganato ( \mathrm{MnO}_{4}^{-}) como redução tem E^{\circ}=1{,}510\\ \mathrm{V}.
  • A meia-reação do urânio (como redução) tem E^{\circ}=0{,}334\\ \mathrm{V}.
    Quando duas semi-reações são combinadas, a semi-reação com maior E^{\circ} atua como catodo (redução) e a menor como anodo (oxidação). Aqui \mathrm{MnO}_{4}^{-} será reduzido e \mathrm{U}^{4+} será oxidado. O potencial padrão da célula é
E^{\circ}_{\mathrm{cel}}=E^{\circ}_{\text{catodo}}-E^{\circ}_{\text{anodo}}=1{,}510-0{,}334=1{,}176\\ \mathrm{V},
logo a reação é espontânea em padrão.

Passo 3

Balancear elétrons e obter a estequiometria global.
  • A meia-reação do urânio (redução) recebe 2 elétrons; a do permanganato recebe 5 elétrons. Para cancelar elétrons, multiplica-se a equação do urânio por 5 e a do permanganato por 2.
Multiplicando e somando (mostrando o processo):
5\bigl(\mathrm{UO}_{2}^{2-}+4\mathrm{H}^{+}+2\mathrm{e}^{-}\to\mathrm{U}^{4+}+2\mathrm{H}_{2}\mathrm{O}\bigr)
2\bigl(\mathrm{MnO}_{4}^{-}+8\mathrm{H}^{+}+5\mathrm{e}^{-}\to\mathrm{Mn}^{2+}+4\mathrm{H}_{2}\mathrm{O}\bigr)
Somando e cancelando elétrons obtemos a reação global (forma simplificada):
5\mathrm{U}^{4+}+2\mathrm{MnO}_{4}^{-}+2\mathrm{H}_{2}\mathrm{O}\to5\mathrm{UO}_{2}^{2-}+4\mathrm{H}^{+}+2\mathrm{Mn}^{2+}.
Esta é a estequiometria que usaremos para relacionar consumo e formação de espécies.

Passo 4

Calcular moles iniciais das espécies relevantes.
  • Volume total da mistura: \,V_{\text{tot}}=50{,}00+60{,}00=110{,}00\\ \mathrm{mL}=0{,}11000\\ \mathrm{L}.
  • Moles de \mathrm{U}^{4+} iniciais:
n(\mathrm{U}^{4+})=0{,}050\\ \mathrm{L}\times0{,}050\\ \mathrm{mol/L}=0{,}00250\\ \mathrm{mol}.
  • Moles de \mathrm{MnO}_{4}^{-} iniciais:
n(\mathrm{MnO}_{4}^{-})=0{,}060\\ \mathrm{L}\times0{,}020\\ \mathrm{mol/L}=0{,}00120\\ \mathrm{mol}.

Passo 5

Determinar limitante e moles consumidos/produzidos pela estequiometria da reação global.
  • Pela estequiometria, para cada 5 mol de \mathrm{U}^{4+} consumidos são consumidos 2 mol de \mathrm{MnO}_{4}^{-}. Assim a razão requerida é \dfrac{n(\mathrm{U}^{4+})}{n(\mathrm{MnO}_{4}^{-})}=\dfrac{5}{2}=2{,}5.
  • Razão real disponível:
\frac{n(\mathrm{U}^{4+})}{n(\mathrm{MnO}_{4}^{-})}=\frac{0{,}00250}{0{,}00120}\approx2{,}0833.
Como 2{,}0833<2{,}5, sobra \mathrm{MnO}_{4}^{-} e o limitante é \mathrm{U}^{4+}.
Quantidades consumidas/prod:
  • Todo \mathrm{U}^{4+} é consumido: \Delta n(\mathrm{U}^{4+})=-0{,}00250\\ \mathrm{mol}.
  • \mathrm{MnO}_{4}^{-} consumido segundo estequiometria: n_{\text{cons}}(\mathrm{MnO}_{4}^{-})=\dfrac{2}{5}\times0{,}00250=0{,}00100\\ \mathrm{mol}.
  • \mathrm{MnO}_{4}^{-} restante:
n_{\text{rest}}(\mathrm{MnO}_{4}^{-})=0{,}00120-0{,}00100=0{,}00020\\ \mathrm{mol}.
  • Moles formados de \mathrm{Mn}^{2+}: pela estequiometria a formação de \mathrm{Mn}^{2+} é igual aos mols de \mathrm{MnO}_{4}^{-} consumidos (2→2), então
n(\mathrm{Mn}^{2+})=0{,}00100\\ \mathrm{mol}.
  • Moles formados de \mathrm{UO}_{2}^{2-}: same que \mathrm{U}^{4+} consumido em escala 1:1 aqui (5→5), logo
n(\mathrm{UO}_{2}^{2-})=0{,}00250\\ \mathrm{mol}.
Agora calculamos concentrações finais (usando volume total \,0{,}11000\\ \mathrm{L}):
[\mathrm{MnO}_{4}^{-}]=\frac{0{,}00020}{0{,}11000}=0{,}001818\\ \mathrm{mol/L},
[\mathrm{Mn}^{2+}]=\frac{0{,}00100}{0{,}11000}=0{,}0090909\\ \mathrm{mol/L}.
Observação: \left[\mathrm{H}^{+}\right] é fornecido como \,1{,}00\\ \mathrm{mol/L} e o enunciado pede para considerá-lo assim (isto é, o excesso de ácido é grande e mantido aproximadamente constante).

Passo 6

Decidir qual equação de Nernst usar para obter o potencial final.
Depois da reação principal:
  • Não há \mathrm{U}^{4+} em excesso (foi todo consumido), portanto a meia-reação do urânio não pode fixar o potencial (porque a forma oxidada está praticamente ausente).
  • Para o permanganato, existem ambas as espécies \mathrm{MnO}_{4}^{-} (oxidador) e \mathrm{Mn}^{2+} (reduzido) presentes, além de \mathrm{H}^{+}. Logo o potencial do sistema será o potencial de redução da meia-reação:
\mathrm{MnO}_{4}^{-}+8\mathrm{H}^{+}+5\mathrm{e}^{-}\rightleftharpoons\mathrm{Mn}^{2+}+4\mathrm{H}_{2}\mathrm{O}
avaliado pelas concentrações encontradas, usando a equação de Nernst. Assumimos T=25^\circ\mathrm{C} (constante usual).

Passo 7

Aplicar a equação de Nernst e calcular numericamente.
Nernst para uma meia-reação geral de redução com n elétrons:
E=E^{\circ}-\frac{0{,}05916}{n}\log\!Q\quad(\text{a }25^\circ\mathrm{C}),
onde Q é o quociente de reação expresso em termos de atividades (aqui aproximadas por concentrações). Para a meia-reação do permanganato:
Q=\frac{[\mathrm{Mn}^{2+}]}{[\mathrm{MnO}_{4}^{-}]\,[\mathrm{H}^{+}]^{8}}.
Substituindo n=5, E^{\circ}=1{,}510\\ \mathrm{V}, [\mathrm{H}^{+}]=1{,}00\\ \mathrm{mol/L} e as concentrações calculadas:
Q=\frac{0{,}0090909}{0{,}001818}\\ =5{,}0.
Logo
E=1{,}510-\frac{0{,}05916}{5}\log(5).
Calculando passo a passo:
\frac{0{,}05916}{5}=0{,}011832,
\log(5)\approx0{,}69897,
\frac{0{,}05916}{5}\log(5)\approx0{,}011832\times0{,}69897\approx0{,}008267.
Portanto
E\approx1{,}510-0{,}008267=1{,}501733\\ \mathrm{V}.
Arredondando de forma coerente com os dados (três casas significativas), obtemos E\approx1{,}502\\ \mathrm{V}.

Passo 8

Interpretação final e incentivo: o potencial ficou muito próximo de \,1{,}50\\ \mathrm{V}, ou seja, a presença residual de \mathrm{MnO}_{4}^{-} determina um potencial alto e positivo. Mandou bem trazendo o exercício — essa é a forma padrão de resolver misturas redox: calcular moles, identificar limitante, achar concentrações finais e aplicar Nernst.

Resposta

\,1{,}502\\ \mathrm{V}

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