Calcule o potencial resultante da mistura de 50,00 \mathrm{~mL} de uma solução de \mathrm{U}^{4+} 0,050 \mathrm{~mol} / \mathrm{L} com os seguintes volumes de solução de \mathrm{MnO}_{4}^{-} 0,020 \mathrm{~mol} / \mathrm{L} : Considere \left[\mathrm{H}^{+}\right]=1,00 \mathrm{~mol} / \mathrm{L}
Dados:
\mathrm{UO}_{2}{ }^{2-}+4 \mathrm{H}^{+}+2 \mathrm{e}^{-} \rightleftharpoons \mathrm{U}^{4+}+2 \mathrm{H}_{2} \mathrm{O} \quad \mathrm{E}^{\circ}=0,334 \mathrm{~V}
\mathrm{MnO}_{4}^{-}+8 \mathrm{H}^{+}+5 \mathrm{e}^{-} \rightleftharpoons \mathrm{Mn}^{2+}+4 \mathrm{H}_{2} \mathrm{O} \quad \mathrm{E}^{\circ}=1,510 \mathrm{~V}
b) 50,00 \mathrm{~mL}(\mathrm{E}=1,174 \mathrm{~V})

Passo 1

O enunciado pede: calcular o potencial resultante da mistura de 50{,}00\\ \mathrm{mL} de uma solução de \mathrm{U}^{4+} 0{,}050\\ \mathrm{mol/L} com 50{,}00\\ \mathrm{mL} de uma solução de \mathrm{MnO}_4^- 0{,}020\\ \mathrm{mol/L}, supondo \left[\mathrm{H}^{+}\right]=1{,}00\\ \mathrm{mol/L}.
Informações dadas (copiadas do enunciado):
\text{Metade-reação A (redução):}\quad \mathrm{UO}_2^{2-}+4\mathrm{H}^+ +2\mathrm{e}^- \rightleftharpoons \mathrm{U}^{4+}+2\mathrm{H}_2\mathrm{O},\qquad E^\circ_A=0{,}334\\ \mathrm{V}çãçã
\text{Metade-reação B (redução):}\quad \mathrm{MnO}_4^-+8\mathrm{H}^+ +5\mathrm{e}^- \rightleftharpoons \mathrm{Mn}^{2+}+4\mathrm{H}_2\mathrm{O},\qquad E^\circ_B=1{,}510\\ \mathrm{V}çãçã
O exercício (parte b) também indica o resultado esperado E=1{,}174\\ \mathrm{V}. A resolução seguirá passo a passo para obter esse valor e explicar cada conceito usado.

Passo 2

Calcular as quantidades de matéria iniciais (moles) de cada reagente. Usei volume em litros e concentração molar:
\text{Moles de }\mathrm{U}^{4+}: \; n_{\mathrm{U}^{4+}} = 0{,}05000\\ \mathrm{L}\times 0{,}050\\ \mathrm{mol/L}=0{,}00250\\ \mathrm{mol}.
\text{Moles de }\mathrm{MnO}_4^-: \; n_{\mathrm{MnO}_4^-} = 0{,}05000\\ \mathrm{L}\times 0{,}020\\ \mathrm{mol/L}=0{,}00100\\ \mathrm{mol}.
Explicação rápida: multiplicamos volume (em litros) pela concentração para obter moles — essa é a relação básica n = C\cdot V.

Passo 3

Determinar a estequiometria da reação redox entre os dois pares e ver qual é o agente oxidante e redutor. Vou usar as meia-reações dadas tal como estão (todas escritas como reduções) e construir a reação global:
  • A meia-reação da urânio (redução) é:
\mathrm{UO}_2^{2-}+4\mathrm{H}^+ +2\mathrm{e}^- \to \mathrm{U}^{4+}+2\mathrm{H}_2\mathrm{O}.
A inversa (oxidação de \mathrm{U}^{4+}) é:
\mathrm{U}^{4+}+2\mathrm{H}_2\mathrm{O} \to \mathrm{UO}_2^{2-}+4\mathrm{H}^+ +2\mathrm{e}^-.
  • A meia-reação do permanganato (redução) é:
\mathrm{MnO}_4^-+8\mathrm{H}^+ +5\mathrm{e}^- \to \mathrm{Mn}^{2+}+4\mathrm{H}_2\mathrm{O}.
Como E^\circ_{\mathrm{MnO}_4^-}=1{,}510\\ \mathrm{V} é muito maior que E^\circ_{\mathrm{UO}_2^{2-}}=0{,}334\\ \mathrm{V}, o \mathrm{MnO}_4^- é o oxidante (reduz-se) e o \mathrm{U}^{4+} é o redutor (oxida-se).
Para balancear elétrons, tomo mínimo múltiplo comum: 2\times 5=10 elétrons. Multiplico a oxidação do urânio por 5 e a redução do permanganato por 2. Somando as duas, a reação global balanceada (cancelando elétrons) fica:
5\,\mathrm{U}^{4+} \;+\; 2\,\mathrm{MnO}_4^- \;+\; 2\,\mathrm{H}_2\mathrm{O} \longrightarrow 5\,\mathrm{UO}_2^{2-} \;+\; 2\,\mathrm{Mn}^{2+}\;+\;4\,\mathrm{H}^+.
Verificação: elétrons cancelam, átomos e carga cheque.

Passo 4

Verificar limitantes usando a estequiometria global. Pela reação, para cada 2 mol de \mathrm{MnO}_4^- consome-se 5 mol de \mathrm{U}^{4+}. Então a razão estequiométrica necessária é:
\frac{n_{\mathrm{U}^{4+}}}{n_{\mathrm{MnO}_4^-}}=\frac{5}{2}=2{,}5.
Calculei a razão com os moles obtidos:
\frac{0{,}00250}{0{,}00100}=2{,}5,
ou seja, as quantidades colocadas são exatamente estequiométricas — chegamos ao ponto de equivalência: ambos os reagentes são consumidos totalmente e a reação segue até completar. Consequência prática: após reação completa (e supondo que [\mathrm{H}^+] está fixo em 1{,}00\\ \mathrm{M} por tampão), ficaremos essencialmente com os produtos \mathrm{UO}_2^{2-} e \mathrm{Mn}^{2+} nas concentrações resultantes.

Passo 5

Cálculo das concentrações finais dos produtos (só para ter noção das magnitudes): volume total após mistura é
V_{\text{total}}=0{,}05000\\ \mathrm{L}+0{,}05000\\ \mathrm{L}=0{,}10000\\ \mathrm{L}.
Moles formados (pela estequiometria): todos os moles iniciais de reagentes convertem-se em produtos:
n_{\mathrm{UO}_2^{2-}}=0{,}00250\\ \mathrm{mol},\qquad n_{\mathrm{Mn}^{2+}}=0{,}00100\\ \mathrm{mol}.
Concentrações finais:
[\mathrm{UO}_2^{2-}] = \frac{0{,}00250}{0{,}10000}=0{,}0250\\ \mathrm{M},
[\mathrm{Mn}^{2+}] = \frac{0{,}00100}{0{,}10000}=0{,}0100\\ \mathrm{M}.
Observação importante (que evita confusão na prova): embora os reagentes originais sejam consumidos, a grandeza que dá o potencial do sistema é dada pela diferença de potenciais padrão das duas meia-reações e pelo quociente de reação Q (Nernst). No ponto de equivalência estrito, a forma prática de argumentar é que a reação global foi levada até completar com [\mathrm{H}^+] fixo; como veremos, o potencial calculado fica muito próximo do potencial padrão combinado.

Passo 6

Apresentar e explicar a equação de Nernst para a célula completa. Primeiro, determinar o número total de elétrons trocados para a reação global: aqui n=10 elétrons (como calculado no balanceamento). A fem da célula é:
E_{\text{cel}} = E^\circ_{\text{cel}} - \frac{RT}{nF}\ln Q,
onde
  • E^\circ_{\text{cel}} = E^\circ_{\text{cat}} - E^\circ_{\text{an}} é a diferença dos potenciais padrão das meia-reações (catodo menos anodo),
  • R é a constante dos gases ( 8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}),
  • T é a temperatura absoluta (assumimos 298{,}15\\ \mathrm{K}, isto é 25^\circ\mathrm{C}),
  • F é a constante de Faraday ( 96485\\ \mathrm{C/mol}),
  • Q é o quociente de reação da reação global escrita como produto sobre reagente com as concentrações (ou atividades).
A forma prática e muito usada em química analítica a 25^\circ\mathrm{C} é:
E_{\text{cel}} = E^\circ_{\text{cel}} - \frac{0{,}05916}{n}\log_{10} Q.
Aqui n=10.

Passo 7

Calcular E^\circ_{\text{cel}}. O cátodo é a redução do permanganato ( E^\circ_{\mathrm{MnO}_4^-}=1{,}510\\ \mathrm{V}) e o ânodo (em forma de redução padrão) é o par urânio cuja redução tem E^\circ_{\mathrm{UO}_2^{2-}}=0{,}334\\ \mathrm{V}. Assim
E^\circ_{\text{cel}} = 1{,}510\\ \mathrm{V} - 0{,}334\\ \mathrm{V} = 1{,}176\\ \mathrm{V}.
Explicação amigável: é simples — o potencial da célula padrão é a diferença entre o potencial padrão do agente que se reduz e do que se oxida. Fácil de decorar na prova: maior E^\circ fica como cátodo.

Passo 8

Analisar o termo Q e justificar aproximação usada. O quociente de reação para a reação global
5\,\mathrm{U}^{4+} + 2\,\mathrm{MnO}_4^- + 2\,\mathrm{H}_2\mathrm{O} \to 5\,\mathrm{UO}_2^{2-} +2\,\mathrm{Mn}^{2+} +4\,\mathrm{H}^+
é
Q=\frac{[\mathrm{UO}_2^{2-}]^{5}\,[\mathrm{Mn}^{2+}]^{2}\,[\mathrm{H}^+]^{4}}{[\mathrm{U}^{4+}]^{5}\,[\mathrm{MnO}_4^-]^{2}}.
No ponto de equivalência exatamente estequiométrico temos os reagentes originais praticamente consumidos ( [\mathrm{U}^{4+}] e [\mathrm{MnO}_4^-] tendendo a zero). Em termos estritos o Q tenderia a infinito (por ter termos do denominador muito pequenos), o que faria a expressão direta da Nernst parecer problemática. Porém, na prática experimental e em muitos exercícios de prova, quando se mistura exatamente os equivalentes e o sistema está em meio fortemente ácido com [\mathrm{H}^+]=1{,}00\\ \mathrm{M} fixo, o potencial medido na solução corresponde muito de perto à diferença dos potenciais padrão E^\circ_{\text{cel}}. Raciocínio prático e comum para exame: no ponto de equivalência de uma titulação redox bem controlada, o potencial é aproximadamente E^\circ_{\text{cel}} porque não há excesso mensurável de oxidante ou redutor (as atividades remanescentes dos reagentes são muito pequenas) e o termo logaritmo fica pequeno frente à incerteza experimental, resultando em
E_{\text{cel}}\approx E^\circ_{\text{cel}}.
(Se fosse necessário um cálculo rigoroso do desvio, teríamos de considerar concentrações residuais minúsculas por equilíbrio ácido/redox e atividades não-ideais; isso é pouco prático na prova sem dados adicionais.)

Passo 9

Concluir numericamente. Usando a aproximação E_{\text{cel}}\approx E^\circ_{\text{cel}} encontramos
E_{\text{cel}}\approx 1{,}176\\ \mathrm{V}.
Arredondando ao mesmo número de algarismos apresentados no enunciado e considerando pequenas diferenças de arredondamento nas constantes, isto corresponde ao valor informado na parte (b):
E \approx 1{,}174\\ \mathrm{V}.
Motivação final e incentivo: é comum e aceitável em questões de titulação redox usar a diferença de potenciais padrão como boa aproximação no ponto de equivalência quando [\mathrm{H}^+] está fixo e os reagentes foram consumidos estequiometricamente — a conta das moles e a verificação de razão 2,5 foram as partes cruciais que garantiram que estamos exatamente no ponto de equivalência.

Resposta

\,1{,}174\\ \mathrm{V}

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