Calcule a pressão exercida por 1 mol de eteno ( \mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{4} ) que se comporta como:
(a) Gás ideal
(b) Gás de van der Waals.
Quando se tem as seguintes condições:
(1) 273,15 \mathrm{~K} em 22,414 \mathrm{dm}^{3}
(2) 1000 K em 100 \mathrm{~cm}^{3}
Dados: a=5,507 \mathrm{dm}^{6} \cdot \mathrm{~atm} \cdot \mathrm{~mol}^{-2} \quad \mathrm{e} \quad b=6,51 \cdot 10^{-2} \mathrm{dm}^{3} \cdot \mathrm{~mol}^{-1}
(resposta no SI)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a pressão exercida por 1 mol de eteno \mathrm{C}_{2}\mathrm{H}_{4} em duas hipóteses: (a) gás ideal e (b) gás de van der Waals, nas duas condições dadas. Dados e informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
\begin{aligned} &n=1\\ \text{mol},\\\ &(1)\;T=273{,}15\\ \text{K},\quad V=22{,}414\\ \text{dm}^3,\\\ &(2)\;T=1000\\ \text{K},\quad V=100\\ \text{cm}^3,\\\ &a=5{,}507\\ \mathrm{dm}^6\cdot\mathrm{atm}\cdot\mathrm{mol}^{-2},\qquad b=6{,}51\times10^{-2}\\ \mathrm{dm}^3\cdot\mathrm{mol}^{-1},\\\ &\text{resposta em unidades SI (ou seja, pressão em Pa).} \end{aligned}ã

Passo 2

Primeiro vamos padronizar unidades para o SI (métrico):
  • Constante universal dos gases em SI: R=8{,}314462618\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}=8{,}314462618\\ \mathrm{Pa\cdot m^3\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}.
  • Converter volumes: \begin{aligned} &(1)\quad V=22{,}414\\ \mathrm{dm}^3=22{,}414\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^3=0{,}022414\\ \mathrm{m}^3,\\\ &(2)\quad V=100\\ \mathrm{cm}^3=100\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^3=1{,}00\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^3. \end{aligned}

Passo 3

Cálculo para o gás ideal. A lei dos gases ideais é
P=\frac{nRT}{V},
onde P é a pressão, n o número de mols, R a constante dos gases, T a temperatura e V o volume. Aplicamos para cada condição:
(1) P=\frac{1\cdot 8{,}314462618\cdot 273{,}15}{0{,}022414} \approx 1{,}01325\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
(Observação: este é o caso clássico do molar volume padrão a 273{,}15\\ \mathrm{K}, portanto dá 1\\ \mathrm{atm}=1{,}01325\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.)
(2) P=\frac{1\cdot 8{,}314462618\cdot 1000}{1{,}00\times10^{-4}} =8{,}314462618\times10^{7}\\ \mathrm{Pa}\approx 8{,}31446\times10^{7}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 4

Agora vamos preparar os parâmetros de van der Waals em SI. A equação de van der Waals para n mols é
\biggl(P + a\Bigl(\frac{n}{V}\Bigr)^{2}\biggr)(V - n b)=nRT.
Para n=1 isolamos P:
P=\frac{RT}{V-b}-\frac{a}{V^{2}}.
Precisamos transformar a e b para unidades SI (Pa e m^3):
  • Converter a: a=5{,}507\\ \mathrm{dm}^6\cdot\mathrm{atm}\cdot\mathrm{mol}^{-2}. Como 1\\ \mathrm{dm}^3=10^{-3}\\ \mathrm{m}^3 então 1\\ \mathrm{dm}^6=(10^{-3})^{2}\\ \mathrm{m}^6=10^{-6}\\ \mathrm{m}^6; e 1\\ \mathrm{atm}=1{,}01325\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}. Logo \begin{aligned} a_{\mathrm{SI}}&=5{,}507\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^6\cdot(1{,}01325\times10^{5}\\ \mathrm{Pa})\\\ &=5{,}507\times0{,}101325\\ \mathrm{Pa\cdot m^6\cdot mol^{-2}}\\\ &\approx 0{,}557994\\ \mathrm{Pa\cdot m^6\cdot mol^{-2}}. \end{aligned}
  • Converter b: b=6{,}51\times10^{-2}\\ \mathrm{dm}^3\cdot\mathrm{mol}^{-1}=6{,}51\times10^{-2}\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^3\cdot\mathrm{mol}^{-1}=6{,}51\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^3\cdot\mathrm{mol}^{-1}.

Passo 5

Cálculo da pressão pela equação de van der Waals para a condição (1) ( T=273{,}15\\ \mathrm{K}, V=0{,}022414\\ \mathrm{m}^3):
  • Primeiro calculamos \dfrac{RT}{V-b}:
    \frac{RT}{V-b}=\frac{8{,}314462618\cdot273{,}15}{0{,}022414-6{,}51\times10^{-5}} =\frac{2270{,}095464\ldots}{0{,}0223489\ldots} \approx 1{,}01620\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
    (Mostrei o numerador RT\approx2270{,}095464.)
  • Em seguida calculamos \dfrac{a}{V^{2}}:
    \frac{a}{V^{2}}=\frac{0{,}557994}{(0{,}022414)^{2}} \approx 1{,}1107\times10^{3}\\ \mathrm{Pa}.
  • Finalmente
    P_{\text{vdW}}=\frac{RT}{V-b}-\frac{a}{V^{2}} \approx 1{,}01620\times10^{5}-1{,}1107\times10^{3} \approx 1{,}00509\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
Interpretação rápida: para o volume molar próximo ao padrão, a correção de b aumenta um pouco a pressão prevista (porque V-b<V), mas a correção -a/V^2 diminui a pressão; o resultado fica ligeiramente abaixo de 1{,}01325\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 6

Cálculo da pressão pela equação de van der Waals para a condição (2) ( T=1000\\ \mathrm{K}, V=1{,}00\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^3):
  • Primeiro V-b = 1{,}00\times10^{-4}-6{,}51\times10^{-5}=3{,}49\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^3.
  • Calcular \dfrac{RT}{V-b}:
    \frac{RT}{V-b}=\frac{8{,}314462618\cdot1000}{3{,}49\times10^{-5}} \approx 2{,}38237\times10^{8}\\ \mathrm{Pa}.
  • Calcular \dfrac{a}{V^{2}}:
    \frac{a}{V^{2}}=\frac{0{,}557994}{(1{,}00\times10^{-4})^{2}}=\frac{0{,}557994}{1{,}00\times10^{-8}} =5{,}57994\times10^{7}\\ \mathrm{Pa}.
  • Finalmente
    P_{\text{vdW}}=\frac{RT}{V-b}-\frac{a}{V^{2}} \approx 2{,}38237\times10^{8}-5{,}57994\times10^{7} \approx 1{,}82437\times10^{8}\\ \mathrm{Pa}.
Comentário: aqui o efeito do termo b (diminuir o volume livre) é muito forte, gerando uma pressão muito maior que a do gás ideal; o termo a/V^2 é grande também, mas menor que o primeiro termo, resultando num P_{\text{vdW}} maior que P_{\text{ideal}} neste caso de volume muito pequeno.

Resposta

(1) (a) \;1{,}01325\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}
(1) (b) \;1{,}00509\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}
(2) (a) \;8{,}31446\times10^{7}\\ \mathrm{Pa}
(2) (b) \;1{,}82437\times10^{8}\\ \mathrm{Pa}

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