(Valor: \mathbf{0 , 5} pt.) (Olimpíada Brasileira de Física) Considere que a órbita da Terra em torno do Sol seja circular e que esse movimento possua período " T ". Sendo " t "o tempo médio que a luz do Sol leva para chegar à Terra e " c "o módulo da velocidade da luz no vácuo, qual o valor estimado da massa do Sol?

Passo 1

O enunciado pede para estimar a massa do Sol, dadas as seguintes informações:
  • A órbita da Terra é considerada circular e tem período T.
  • O tempo médio que a luz do Sol leva para chegar à Terra é t.
  • O módulo da velocidade da luz no vácuo é c.
    Queremos encontrar a massa do Sol M (estimada) em função dessas grandezas e, em seguida, um valor numérico aproximado. Nada mais é pedido.

Passo 2

Conceitos físicos que vamos usar (com explicação didática):
  • Lei da gravitação universal de Newton: a força de atração gravitacional entre o Sol (massa M) e a Terra (massa m) é
F_\text{g} = G\,\frac{M\,m}{r^{2}},
onde G é a constante de gravitação universal e r é a distância entre os centros (raio da órbita). Aqui G tem unidade \mathrm{m^{3}\,kg^{-1}\,s^{-2}}. Essa fórmula diz: a força é proporcional ao produto das massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância.
  • Força centrípeta necessária para manter a Terra em órbita circular com velocidade angular \omega é
F_\text{c} = m\,r\,\omega^{2}.
Explicando: um corpo descrevendo movimento circular precisa de uma força dirigida ao centro; essa força vale massa vezes aceleração centrípeta r\omega^{2}.
  • Relação entre período T e velocidade angular \omega:
\omega = \frac{2\pi}{T}.
Isso vem do fato de uma volta completa corresponde a ângulo 2\pi radianos em tempo T.

Passo 3

Igualando a força gravitacional com a força centrípeta (pois é a gravidade que fornece a aceleração centrípeta à Terra), cancelando a massa da Terra m, obtemos:
G\,\frac{M}{r^{2}} = r\,\omega^{2}.
Substituindo \omega = \dfrac{2\pi}{T} e rearranjando para M, temos
M = \frac{r^{3}\,\omega^{2}}{G} = \frac{r^{3}}{G}\left(\frac{2\pi}{T}\right)^{2} = \frac{4\pi^{2}\,r^{3}}{G\,T^{2}}.
Esta é a fórmula chave: massa do Sol em termos do raio orbital r, período T e constante G.

Passo 4

Agora usamos a informação sobre o tempo que a luz leva para ir do Sol à Terra: a distância r é aproximadamente o produto da velocidade da luz pelo tempo de viagem:
r = c\,t.
Substituindo isso na expressão obtida em

Passo 5

M = \frac{4\pi^{2}\,(c\,t)^{3}}{G\,T^{2}}.
Pronto — temos M expresso só em termos de c, t, T e G. Isso responde a parte simbólica do problema.

Passo 6

Agora vamos estimar numericamente. Valores típicos (SI) que usamos para calcular uma estimativa prática:
c = 3,00\times10^{8}\\ \mathrm{m\,s^{-1}},\qquad t \approx 500\\ \mathrm{s}\\ (\text{aprox. }8\\ \text{min }20\\ \text{s}),
T = 1\\ \text{ano} \approx 3,156\times10^{7}\\ \mathrm{s},\qquad G = 6,67\times10^{-11}\\ \mathrm{m^{3}\,kg^{-1}\,s^{-2}}.
Escolhi t=500\\ \mathrm{s} porque é o valor médio conhecido para o tempo de viagem da luz Sol→Terra (cerca de 8 minutos e 20 segundos). Se preferir outro valor de t, basta substituir.

Passo 7

Calculemos passo a passo r e r^{3}:
r = c\,t = (3,00\times10^{8})(5,00\times10^{2}) = 1,50\times10^{11}\\ \mathrm{m}.
r^{3} = (1,50\times10^{11})^{3} = 3,375\times10^{33}\\ \mathrm{m^{3}}.

Passo 8

Calculemos o numerador 4\pi^{2}\,r^{3}. Primeiro 4\pi^{2}\approx39,48. Então
4\pi^{2}\,r^{3} \approx 39,48\times 3,375\times10^{33} \approx 1,334\times10^{35}.

Passo 9

Calculemos o denominador G\,T^{2}:
T^{2} = (3,156\times10^{7})^{2} \approx 9,96\times10^{14}\\ \mathrm{s^{2}}.
G\,T^{2} \approx (6,67\times10^{-11})\times(9,96\times10^{14}) \approx 6,64\times10^{4}.

Passo 10

Agora a divisão final:
M \approx \frac{1,334\times10^{35}}{6,64\times10^{4}} \approx 2,01\times10^{30}\\ \mathrm{kg}.
Interpretação: esse é o valor estimado da massa do Sol; está na casa de 10^{30}\\ \mathrm{kg}. É isso que se espera e bate bem com o valor aceito na literatura ( \approx2,0\times10^{30}\\ \mathrm{kg}). Você conseguiu — mesmo com aproximações, o resultado é ótimo para a prova!

Resposta

M\approx2,0\times10^{30}\\ \mathrm{kg}

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