(Valor:
pt.) (Olimpíada Brasileira de Física) Considere que a órbita da Terra em torno do Sol seja circular e que esse movimento possua período "
". Sendo "
"o tempo médio que a luz do Sol leva para chegar à Terra e "
"o módulo da velocidade da luz no vácuo, qual o valor estimado da massa do Sol?
Passo 1
O enunciado pede para estimar a massa do Sol, dadas as seguintes informações:
- A órbita da Terra é considerada circular e tem período
. - O tempo médio que a luz do Sol leva para chegar à Terra é
. - O módulo da velocidade da luz no vácuo é
.
Queremos encontrar a massa do Sol(estimada) em função dessas grandezas e, em seguida, um valor numérico aproximado. Nada mais é pedido.
Passo 2
Conceitos físicos que vamos usar (com explicação didática):
- Lei da gravitação universal de Newton: a força de atração gravitacional entre o Sol (massa
) e a Terra (massa ) é
onde
é a constante de gravitação universal e
é a distância entre os centros (raio da órbita). Aqui
tem unidade
. Essa fórmula diz: a força é proporcional ao produto das massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância.
- Força centrípeta necessária para manter a Terra em órbita circular com velocidade angular
é
Explicando: um corpo descrevendo movimento circular precisa de uma força dirigida ao centro; essa força vale massa vezes aceleração centrípeta
.
- Relação entre período
e velocidade angular :
Isso vem do fato de uma volta completa corresponde a ângulo
radianos em tempo
.
Passo 3
Igualando a força gravitacional com a força centrípeta (pois é a gravidade que fornece a aceleração centrípeta à Terra), cancelando a massa da Terra
, obtemos:
Substituindo
e rearranjando para
, temos
Esta é a fórmula chave: massa do Sol em termos do raio orbital
, período
e constante
.
Passo 4
Agora usamos a informação sobre o tempo que a luz leva para ir do Sol à Terra: a distância
é aproximadamente o produto da velocidade da luz pelo tempo de viagem:
Substituindo isso na expressão obtida em
Passo 5
Pronto — temos
expresso só em termos de
,
,
e
. Isso responde a parte simbólica do problema.
Passo 6
Agora vamos estimar numericamente. Valores típicos (SI) que usamos para calcular uma estimativa prática:
Escolhi
porque é o valor médio conhecido para o tempo de viagem da luz Sol→Terra (cerca de 8 minutos e 20 segundos). Se preferir outro valor de
, basta substituir.
Passo 7
Calculemos passo a passo
e
:
Passo 8
Calculemos o numerador
. Primeiro
. Então
Passo 9
Calculemos o denominador
:
Passo 10
Agora a divisão final:
Interpretação: esse é o valor estimado da massa do Sol; está na casa de
. É isso que se espera e bate bem com o valor aceito na literatura (
). Você conseguiu — mesmo com aproximações, o resultado é ótimo para a prova!