Considerar um segmento de reta, com carga total q, e comprimento L, uniformemente carregado. Utilizar um ou mais dos sistemas de coordenadas: x, y, z (retangulares), ou r, \varphi, z (cilíndricas) ou r, \theta, \varphi (esféricas).
a) Calcular por integração das contribuições elementares das cargas d q em que a carga do segmento se pode dividir, e estendendo o cálculo a todos os pontos do espaço que não pertencem ao segmento carregado.
i) O potencial elétrico V(\vec{r});
ii) O campo elétrico \vec{E}(\vec{r}) Sem utilizar a relação entre o campo \vec{E} e o potencial V calculado na alínea anterior;
b) Calcular as expansões multipolares do potencial e do campo elétrico descritos nas alíneas anteriores, até a ordem 2 . Começar por determinar os momentos multipolares elétricos do segmento uniformemente carregado (até a ordem 2), definindo um referencial simplificador desses cálculos. Explicar a utilidade das expansões obtidas.
c) Descrever, e esboçar em torno do segmento eletricamente carregado, a superfície de pontos para as quais é nula a contribuição do termo quadrupolar elétrico para o potencial.

Passo 1

O enunciado dá um segmento retilíneo de comprimento \,L\, com carga total \,q\, uniformemente distribuída ao longo do segmento. Pede-se:
  • (a.i) o potencial elétrico V(\vec r) em todos os pontos do espaço que não pertencem ao segmento, obtido por integração das contribuições elementares d q;
  • (a.ii) o campo elétrico \vec E(\vec r) obtido também por integração direta das contribuições elementares (explicitamente: sem usar \vec E=-\nabla V aqui);
  • (b) os desenvolvimentos multipolares (potencial e campo) até ordem 2 (monopolo, dipolo e quadrupolo), começando por calcular os momentos multipolares elétricos até ordem 2, escolhendo um referencial que simplifique os cálculos, e explicar a utilidade da expansão;
  • (c) descrever e esboçar a superfície (em torno do segmento) onde a contribuição quadrupolar do potencial é nula.
Informações relevantes e assumidas (tudo dado ou natural para o problema): a distribuição é uniforme ao longo do segmento, logo densidade linear \lambda=\dfrac{q}{L}. O resultado deve ser válido para todo ponto do espaço que não esteja sobre o próprio segmento. Não foi dada posição do segmento; para simplificar os cálculos vamos escolher um referencial conveniente (isso será feito no próximo passo).

Passo 2

Escolha do referencial e parametrização do segmento (isso não altera a física, apenas facilita contas). Coloco o segmento ao longo do eixo z, centrado na origem, isto é os pontos fonte são
\vec r'=(0,0,z'),\qquad z'\in\left[-\frac{L}{2},\frac{L}{2}\right].
A densidade linear é \lambda=\dfrac{q}{L}. Um ponto de campo arbitrário será escrito em coordenadas cilíndricas como
\vec r=(\rho\cos\varphi,\rho\sin\varphi,z),
onde \rho=\sqrt{x^2+y^2}. Por simetria axial em torno do eixo do segmento, as quantidades dependem só de \rho e z (não dependem de \varphi). Isso facilita tanto a integral para V quanto para \vec E.

Passo 3

Cálculo do potencial por integração das contribuições elementares. A lei de Coulomb para o potencial é
V(\vec r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{dq}{|\vec r-\vec r'|}.
Aqui dq=\lambda\,dz' e
|\vec r-\vec r'|=\sqrt{\rho^2+(z-z')^2}.
Logo
V(\rho,z)=\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\int_{-L/2}^{L/2}\frac{dz'}{\sqrt{\rho^2+(z-z')^2}}.
Para resolver a integral, faço a mudança u=z-z', então du=-dz' e os limites se tornam u_1=z+L/2 (quando z'=-L/2) e u_2=z-L/2 (quando z'=L/2). A integral básica é conhecida:
\int\frac{dz'}{\sqrt{\rho^2+(z-z')^2}} = \int_{u_1}^{u_2}\frac{-du}{\sqrt{\rho^2+u^2}} = \left.\ln\!\big(u+\sqrt{\rho^2+u^2}\big)\right|_{u_1}^{u_2}.
Aplicando os limites obtemos (detalhes algébricos acima)
\int_{-L/2}^{L/2}\frac{dz'}{\sqrt{\rho^2+(z-z')^2}} =\ln\!\frac{z+L/2+\sqrt{\rho^2+(z+L/2)^2}}{z-L/2+\sqrt{\rho^2+(z-L/2)^2}} .

Passo 4

Concluir a expressão do potencial (coloco a densidade \lambda em termos de q/L se quiser):
V(\rho,z)=\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\, \ln\!\frac{z+\dfrac{L}{2}+\sqrt{\rho^2+\left(z+\dfrac{L}{2}\right)^2}} {\,z-\dfrac{L}{2}+\sqrt{\rho^2+\left(z-\dfrac{L}{2}\right)^2}\,}.
Substituindo \lambda=\dfrac{q}{L} pode-se escrever
V(\rho,z)=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 L}\, \ln\!\frac{z+\dfrac{L}{2}+\sqrt{\rho^2+\left(z+\dfrac{L}{2}\right)^2}} {\,z-\dfrac{L}{2}+\sqrt{\rho^2+\left(z-\dfrac{L}{2}\right)^2}\,}.
Esta expressão é válida para todo ponto (\rho,z) que não esteja sobre a reta carregada (ou seja \rho\neq0 ou z fora do intervalo, e para pontos sobre o eixo \rho=0 a expressão limite dá o valor correto exceto nos pontos do próprio segmento onde o potencial diverge como esperado).

Passo 5

Cálculo do campo elétrico por integração direta das contribuições elementares (sem usar \vec E=-\nabla V). A contribuição elementar ao campo é
d\vec E(\vec r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{dq\;(\vec r-\vec r')}{|\vec r-\vec r'|^3}.
Com dq=\lambda\,dz' e \vec r'=(0,0,z') obtemos, em coordenadas cilíndricas, por simetria \;E_\varphi=0 e \vec E=E_\rho\,\hat\rho+E_z\,\hat z. Os componentes são
E_\rho(\rho,z)=\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\int_{-L/2}^{L/2} \frac{\rho\;dz'}{\big(\rho^2+(z-z')^2\big)^{3/2}},
E_z(\rho,z)=\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\int_{-L/2}^{L/2} \frac{(z-z')\;dz'}{\big(\rho^2+(z-z')^2\big)^{3/2}}.

Passo 6

Avaliação da integral para E_\rho. Faço a substituição u=z-z' como antes, com du=-dz', e uso a primitiva
\int\frac{du}{(\rho^2+u^2)^{3/2}}=\frac{u}{\rho^2\sqrt{\rho^2+u^2}}.
Calculando cuidadosamente os limites, obtemos
\int_{-L/2}^{L/2}\frac{\rho\;dz'}{(\rho^2+(z-z')^2)^{3/2}} =\frac{1}{\rho}\left( \frac{z+\dfrac{L}{2}}{\sqrt{\rho^2+\left(z+\dfrac{L}{2}\right)^2}} - \frac{z-\dfrac{L}{2}}{\sqrt{\rho^2+\left(z-\dfrac{L}{2}\right)^2}} \right).
Portanto
E_\rho(\rho,z)=\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{1}{\rho}\left( \frac{z+\dfrac{L}{2}}{\sqrt{\rho^2+\left(z+\dfrac{L}{2}\right)^2}} - \frac{z-\dfrac{L}{2}}{\sqrt{\rho^2+\left(z-\dfrac{L}{2}\right)^2}} \right).

Passo 7

Avaliação da integral para E_z. Com a mesma troca u=z-z' e a primitiva
\int\frac{u\,du}{(\rho^2+u^2)^{3/2}}=-\frac{1}{\sqrt{\rho^2+u^2}},
chegamos a
\int_{-L/2}^{L/2}\frac{(z-z')\,dz'}{(\rho^2+(z-z')^2)^{3/2}} =\frac{1}{\sqrt{\rho^2+\left(z-\dfrac{L}{2}\right)^2}} - \frac{1}{\sqrt{\rho^2+\left(z+\dfrac{L}{2}\right)^2}}.
Logo
E_z(\rho,z)=\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\left( \frac{1}{\sqrt{\rho^2+\left(z-\dfrac{L}{2}\right)^2}} - \frac{1}{\sqrt{\rho^2+\left(z+\dfrac{L}{2}\right)^2}} \right).

Passo 8

Escrevo o campo vetorial completo (em base cilíndrica). Relembrando \lambda=q/L,
\boxed{\displaystyle \vec E(\rho,z)=E_\rho(\rho,z)\,\hat\rho+E_z(\rho,z)\,\hat z}
com E_\rho e E_z dados nas fórmulas dos passos 6 e 7. Observações rápidas de verificação: para \rho\to0 (e z fora do segmento) as expressões acima têm limites finitos e, para r muito grande, o campo reduz-se ao campo de uma carga pontual q, como deve ser (veremos isso com a expansão multipolar).

Passo 9

Cálculo dos momentos multipolares elétricos até ordem 2, escolhendo o referencial que simplifica: como já coloquei o segmento centrado na origem, o momento dipolar ficará nulo por simetria, o que simplifica a expansão.
Definições (convenções usadas):
  • Monopolo: q=\displaystyle\int \rho(\vec r')\,d^3r' (aqui q já é dado).
  • Dipolo: \displaystyle\mathbf p=\int \vec r'\,\rho(\vec r')\,d^3r'.
  • Tensor quadrupolar (forma usual usada na expansão do potencial):
Q_{ij}=\int\big(3x'_i x'_j - r'^2\delta_{ij}\big)\,\rho(\vec r')\,d^3r'.
Para a nossa linha ao longo de z temos \rho(\vec r')=\lambda\,\delta(x')\delta(y') ao longo do segmento em z'. Assim:
  • Dipolo: \mathbf p=\hat z\,\lambda\int_{-L/2}^{L/2} z'\,dz'=0 (porque a integral de z' em [-L/2,L/2] é zero).
  • Quadrupolo: só existem contribuições de z' pois x'=y'=0. Faço os componentes: Q_{zz}=\int(3z'^2-r'^2)\lambda\,dz'=\int(3z'^2-z'^2)\lambda\,dz'=2\lambda\int_{-L/2}^{L/2}z'^2dz'e Q_{xx}=Q_{yy}=\int(0 - z'^2)\lambda\,dz'=-\lambda\int_{-L/2}^{L/2}z'^2dz'.
A integral \int_{-L/2}^{L/2} z'^2dz'=\dfrac{L^3}{12}. Portanto, substituindo \lambda=q/L:
Q_{zz}=2\lambda\frac{L^3}{12}=\lambda\frac{L^3}{6}=\frac{qL^2}{6},
Q_{xx}=Q_{yy}=-\lambda\frac{L^3}{12}=-\frac{qL^2}{12}.
Verificação rápida: traço Q_{xx}+Q_{yy}+Q_{zz}=0, consistente com a definição acima.

Passo 10

Expansão multipolar do potencial até ordem quadrupolar (grande distância, r\gg L). A forma conveniente da expansão, em notação baseada em direções unitárias \hat r, é
V(\vec r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\Big(\frac{q}{r}+\frac{\mathbf p\cdot\hat r}{r^2}+\frac{1}{2}\frac{Q_{ij}\,\hat r_i\hat r_j}{r^3}+\cdots\Big).
No nosso referencial \mathbf p=\mathbf0. Usando os componentes calculados e escrevendo em termos de \theta (ângulo entre \vec r e o eixo z, com \cos\theta=\hat r\cdot\hat z), temos
Q_{ij}\hat r_i\hat r_j=Q_{xx}\sin^2\theta+Q_{zz}\cos^2\theta = \frac{qL^2}{12}\big(3\cos^2\theta-1\big).
Portanto, o termo quadrupolar do potencial é
V_{\text{quad}}(\vec r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{1}{2}\,\frac{Q_{ij}\hat r_i\hat r_j}{r^3} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{qL^2}{24}\,\frac{3\cos^2\theta-1}{r^3}.
A expansão até ordem 2 fica então
\boxed{\displaystyle V(\vec r)\simeq\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{q}{r}+\frac{qL^2}{24}\,\frac{3\cos^2\theta-1}{r^3}\right)\qquad(r\gg L). }

Passo 11

Expansão multipolar do campo até ordem quadrupolar: agora uso \vec E=-\nabla V sobre a expansão (a restrição de não usar \vec E=-\nabla V valia só para a alínea (a.ii), já que ali pediram a integração direta). Com a forma esférica V(r,\theta) acima, o gradiente em coordenadas esféricas dá (onde \alpha=\dfrac{qL^2}{24}):
V(r,\theta)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{q}{r}+\alpha\frac{3\cos^2\theta-1}{r^3}\right).
Cálculo direto das componentes (detalhes de derivada: \partial_r e \partial_\theta) fornece as componentes (até ordem r^{-4}):
E_r(\vec r)\simeq\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{q}{r^2}+3\alpha\frac{3\cos^2\theta-1}{r^4}\right),
E_\theta(\vec r)\simeq\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(6\alpha\frac{\sin\theta\cos\theta}{r^4}\right).
Substituindo \alpha=\dfrac{qL^2}{24} obtemos formas explícitas:
\boxed{\displaystyle E_r(\vec r)\simeq\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{q}{r^2}+\frac{qL^2}{8}\,\frac{3\cos^2\theta-1}{r^4}\right), }
\boxed{\displaystyle E_\theta(\vec r)\simeq\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{qL^2}{4}\,\frac{\sin\theta\cos\theta}{r^4}\right). }
Estas expressões descrevem o campo em coordenadas esféricas até a ordem quadrupolar. Para r\gg L o termo monopolar domina ( \sim 1/r^2); o quadrupolar aparece como correção de ordem \sim L^2/r^4.
Comentário sobre utilidade: a expansão multipolar permite substituir uma distribuição extensa (aqui o segmento) por um conjunto finito de termos (monopolo, dipolo, quadrupolo, …) quando se está em regiões externas ao sistema (campo de visão distante). Isso facilita estimativas rápidas e entendimento de simetrias (por exemplo, dipolo nulo por escolha do referencial) e do decaimento com r.

Passo 12

Interpretação física e verificação simples:
  • Monopolo q é o termo dominante a grandes distâncias, recuperando o campo de uma carga pontual;
  • Dipolo nulo porque o segmento está centrado na origem (boa razão prática para centralizar o segmento);
  • Quadrupolo não nulo e proporcional a qL^2, indicando que a primeira correção angular ao campo/pro potencial aparece com dependência em \cos^2\theta;
  • As superfícies onde a contribuição quadrupolar do potencial é zero são fáceis de achar (próximo passo).

Passo 13

Determinar e descrever a superfície onde a contribuição quadrupolar do potencial é nula. A contribuição quadrupolar do potencial é proporcional a (3\cos^2\theta-1)/r^3. Assim ela é nula quando
3\cos^2\theta-1=0\quad\Longrightarrow\quad \cos^2\theta=\frac{1}{3}.
Logo \cos\theta=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}, isto é
\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\approx 54{,}7356^\circ \quad\text{ou}\quad \theta=\operatorname{arccos}\!\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\approx 125{,}2644^\circ.
Essas equações definem duas superfícies cônicas (um par de cones com eixo ao longo do segmento, vértices na origem) que se estendem para todo r: sobre esses cones a contribuição quadrupolar do potencial é identicamente zero (para qualquer r). Em um esboço: desenhe o segmento ao longo do eixo z e trace dois cones simétricos com semi-ângulo \approx54{,}7^\circ em relação ao eixo +z e -z. Em tais direções o potencial recebe apenas contribuições de termos de ordem diferente da quadrupolar (p.ex. monopolo e termos de ordem superior).

Resposta

V(\rho,z)=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 L}\, \ln\!\dfrac{z+\dfrac{L}{2}+\sqrt{\rho^2+\left(z+\dfrac{L}{2}\right)^2}} {\,z-\dfrac{L}{2}+\sqrt{\rho^2+\left(z-\dfrac{L}{2}\right)^2}\,}.
\displaystyle \vec E(\rho,z)=E_\rho(\rho,z)\,\hat\rho+E_z(\rho,z)\,\hat z com
E_\rho(\rho,z)=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 L}\,\frac{1}{\rho}\left( \frac{z+\dfrac{L}{2}}{\sqrt{\rho^2+\left(z+\dfrac{L}{2}\right)^2}} - \frac{z-\dfrac{L}{2}}{\sqrt{\rho^2+\left(z-\dfrac{L}{2}\right)^2}} \right),
E_z(\rho,z)=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 L}\left( \frac{1}{\sqrt{\rho^2+\left(z-\dfrac{L}{2}\right)^2}} - \frac{1}{\sqrt{\rho^2+\left(z+\dfrac{L}{2}\right)^2}} \right).
Momentos multipolares (centro na origem):
\mathbf p=\mathbf0,\qquad Q_{zz}=\frac{qL^2}{6},\qquad Q_{xx}=Q_{yy}=-\frac{qL^2}{12}.
Expansões multipolares (para r\gg L), potencial até ordem 2:
V(\vec r)\simeq\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{q}{r}+\frac{qL^2}{24}\,\frac{3\cos^2\theta-1}{r^3}\right).
Campo até ordem quadrupolar (componentes esféricas):
E_r(\vec r)\simeq\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{q}{r^2}+\frac{qL^2}{8}\,\frac{3\cos^2\theta-1}{r^4}\right), \quad E_\theta(\vec r)\simeq\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{qL^2}{4}\,\frac{\sin\theta\cos\theta}{r^4}\right).
Superfície onde o termo quadrupolar do potencial é nulo:
3\cos^2\theta-1=0\quad\Longrightarrow\quad \theta=\operatorname{arccos}\!\left(\pm\frac{1}{\sqrt{3}}\right)
(duas superfícies cônicas coaxiais com semiângulo \approx54{,}7356^\circ).

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