Considerar um segmento de reta, com carga total q, e comprimento L, uniformemente carregado. Utilizar um ou mais dos sistemas de coordenadas: x, y, z (retangulares), ou r, \varphi, z (cilíndricas) ou r, \theta, \varphi (esféricas).
a) Calcular por integração das contribuições elementares das cargas d q em que a carga do segmento se pode dividir, e estendendo o cálculo a todos os pontos do espaço que não pertencem ao segmento carregado.
i) O potencial elétrico V(\vec{r});
ii) O campo elétrico \vec{E}(\vec{r}) Sem utilizar a relação entre o campo \vec{E} e o potencial V calculado na alínea anterior;
b) Calcular as expansões multipolares do potencial e do campo elétrico descritos nas alíneas anteriores, até a ordem 2 . Começar por determinar os momentos multipolares elétricos do segmento uniformemente carregado (até a ordem 2), definindo um referencial simplificador desses cálculos. Explicar a utilidade das expansões obtidas.
c) Descrever, e esboçar em torno do segmento eletricamente carregado, a superfície de pontos para as quais é nula a contribuição do termo quadrupolar elétrico para o potencial.
Passo 1
O enunciado dá um segmento retilíneo de comprimento \,L\, com carga total \,q\, uniformemente distribuída ao longo do segmento. Pede-se:
(a.i) o potencial elétrico V(\vec r) em todos os pontos do espaço que não pertencem ao segmento, obtido por integração das contribuições elementares d q;
(a.ii) o campo elétrico \vec E(\vec r) obtido também por integração direta das contribuições elementares (explicitamente: sem usar \vec E=-\nabla V aqui);
(b) os desenvolvimentos multipolares (potencial e campo) até ordem 2 (monopolo, dipolo e quadrupolo), começando por calcular os momentos multipolares elétricos até ordem 2, escolhendo um referencial que simplifique os cálculos, e explicar a utilidade da expansão;
(c) descrever e esboçar a superfície (em torno do segmento) onde a contribuição quadrupolar do potencial é nula.
Informações relevantes e assumidas (tudo dado ou natural para o problema): a distribuição é uniforme ao longo do segmento, logo densidade linear \lambda=\dfrac{q}{L}. O resultado deve ser válido para todo ponto do espaço que não esteja sobre o próprio segmento. Não foi dada posição do segmento; para simplificar os cálculos vamos escolher um referencial conveniente (isso será feito no próximo passo).
Passo 2
Escolha do referencial e parametrização do segmento (isso não altera a física, apenas facilita contas). Coloco o segmento ao longo do eixo z, centrado na origem, isto é os pontos fonte são
A densidade linear é \lambda=\dfrac{q}{L}. Um ponto de campo arbitrário será escrito em coordenadas cilíndricas como
\vec r=(\rho\cos\varphi,\rho\sin\varphi,z),
onde \rho=\sqrt{x^2+y^2}. Por simetria axial em torno do eixo do segmento, as quantidades dependem só de \rho e z (não dependem de \varphi). Isso facilita tanto a integral para V quanto para \vec E.
Passo 3
Cálculo do potencial por integração das contribuições elementares. A lei de Coulomb para o potencial é
Para resolver a integral, faço a mudança u=z-z', então du=-dz' e os limites se tornam u_1=z+L/2 (quando z'=-L/2) e u_2=z-L/2 (quando z'=L/2). A integral básica é conhecida:
Esta expressão é válida para todo ponto (\rho,z) que não esteja sobre a reta carregada (ou seja \rho\neq0 ou z fora do intervalo, e para pontos sobre o eixo \rho=0 a expressão limite dá o valor correto exceto nos pontos do próprio segmento onde o potencial diverge como esperado).
Passo 5
Cálculo do campo elétrico por integração direta das contribuições elementares (sem usar \vec E=-\nabla V). A contribuição elementar ao campo é
Com dq=\lambda\,dz' e \vec r'=(0,0,z') obtemos, em coordenadas cilíndricas, por simetria \;E_\varphi=0 e \vec E=E_\rho\,\hat\rho+E_z\,\hat z. Os componentes são
com E_\rho e E_z dados nas fórmulas dos passos 6 e 7. Observações rápidas de verificação: para \rho\to0 (e z fora do segmento) as expressões acima têm limites finitos e, para r muito grande, o campo reduz-se ao campo de uma carga pontual q, como deve ser (veremos isso com a expansão multipolar).
Passo 9
Cálculo dos momentos multipolares elétricos até ordem 2, escolhendo o referencial que simplifica: como já coloquei o segmento centrado na origem, o momento dipolar ficará nulo por simetria, o que simplifica a expansão.
Definições (convenções usadas):
Monopolo: q=\displaystyle\int \rho(\vec r')\,d^3r' (aqui q já é dado).
Para a nossa linha ao longo de z temos \rho(\vec r')=\lambda\,\delta(x')\delta(y') ao longo do segmento em z'. Assim:
Dipolo: \mathbf p=\hat z\,\lambda\int_{-L/2}^{L/2} z'\,dz'=0 (porque a integral de z' em [-L/2,L/2] é zero).
Quadrupolo: só existem contribuições de z' pois x'=y'=0. Faço os componentes:Q_{zz}=\int(3z'^2-r'^2)\lambda\,dz'=\int(3z'^2-z'^2)\lambda\,dz'=2\lambda\int_{-L/2}^{L/2}z'^2dz'eQ_{xx}=Q_{yy}=\int(0 - z'^2)\lambda\,dz'=-\lambda\int_{-L/2}^{L/2}z'^2dz'.
A integral \int_{-L/2}^{L/2} z'^2dz'=\dfrac{L^3}{12}. Portanto, substituindo \lambda=q/L:
Verificação rápida: traço Q_{xx}+Q_{yy}+Q_{zz}=0, consistente com a definição acima.
Passo 10
Expansão multipolar do potencial até ordem quadrupolar (grande distância, r\gg L). A forma conveniente da expansão, em notação baseada em direções unitárias \hat r, é
No nosso referencial \mathbf p=\mathbf0. Usando os componentes calculados e escrevendo em termos de \theta (ângulo entre \vec r e o eixo z, com \cos\theta=\hat r\cdot\hat z), temos
Expansão multipolar do campo até ordem quadrupolar: agora uso \vec E=-\nabla V sobre a expansão (a restrição de não usar \vec E=-\nabla V valia só para a alínea (a.ii), já que ali pediram a integração direta). Com a forma esférica V(r,\theta) acima, o gradiente em coordenadas esféricas dá (onde \alpha=\dfrac{qL^2}{24}):
Estas expressões descrevem o campo em coordenadas esféricas até a ordem quadrupolar. Para r\gg L o termo monopolar domina (\sim 1/r^2); o quadrupolar aparece como correção de ordem \sim L^2/r^4.
Comentário sobre utilidade: a expansão multipolar permite substituir uma distribuição extensa (aqui o segmento) por um conjunto finito de termos (monopolo, dipolo, quadrupolo, …) quando se está em regiões externas ao sistema (campo de visão distante). Isso facilita estimativas rápidas e entendimento de simetrias (por exemplo, dipolo nulo por escolha do referencial) e do decaimento com r.
Passo 12
Interpretação física e verificação simples:
Monopolo q é o termo dominante a grandes distâncias, recuperando o campo de uma carga pontual;
Dipolo nulo porque o segmento está centrado na origem (boa razão prática para centralizar o segmento);
Quadrupolo não nulo e proporcional a qL^2, indicando que a primeira correção angular ao campo/pro potencial aparece com dependência em \cos^2\theta;
As superfícies onde a contribuição quadrupolar do potencial é zero são fáceis de achar (próximo passo).
Passo 13
Determinar e descrever a superfície onde a contribuição quadrupolar do potencial é nula. A contribuição quadrupolar do potencial é proporcional a (3\cos^2\theta-1)/r^3. Assim ela é nula quando
Essas equações definem duas superfícies cônicas (um par de cones com eixo ao longo do segmento, vértices na origem) que se estendem para todo r: sobre esses cones a contribuição quadrupolar do potencial é identicamente zero (para qualquer r). Em um esboço: desenhe o segmento ao longo do eixo z e trace dois cones simétricos com semi-ângulo \approx54{,}7^\circ em relação ao eixo +z e -z. Em tais direções o potencial recebe apenas contribuições de termos de ordem diferente da quadrupolar (p.ex. monopolo e termos de ordem superior).