Calcule f^prime(x) para as funções f abaixo:
  1. f(x)=x+1x-1
  2. f(x)=(2 x^3+1)^32x+2
  3. f(x)=4 x-x^4(x^3+2)^100
  4. f(x)=x sen(raizx^5-x^2)
  5. f(x)=raiz[3]x^2 cos x(x^4+tg^2 x+1)^2
  6. f(x)=raiz[6]x tg^2 x
  7. f(x)=raizx+cossec xx^3+3 x^2
  8. f(x)=sec (raizx^2+1)
  9. f(x)=x^2 tg(x^3-x^2)sec x
  10. f(x)=x sen x cos x
  11. f(x)=(x+lambda)^4x^4+lambda^4
  12. f(x)=1sen(x-sen x)
  13. f(x)=2 x(x+raizx)^13
  14. f(x)=cotg(3 x^2+5)
  15. f(x)=x^2sen^33 x cos ^17 x
  16. $f(x)=\frac{\sqrt[3]{x} \operatorname{sen} x}{x^{2} \cos \left(x^{2}\right)}

Passo 1

Para f(x)=(x+1)/(x-1), usamos a regra do quociente: f’=(u’v–uv’)/v² com u=x+1 e v=x–1 resultando em f’(x)=–2/(x–1)².

Passo 2

Para f(x)=(2x³+1)³²/(x+2), aplicamos a regra do quociente e a cadeia em (2x³+1)³².

Passo 3

Para f(x)=(4x–x⁴)/(x³+2)¹⁰⁰, aplicamos a regra do quociente com u=4x–x⁴ e v=(x³+2)¹⁰⁰.

Passo 4

Para f(x)=x·sen(√(x⁵)–x²), usamos produto e cadeia: f’=sen(…)+x·cos(…)*(5/2 x³ᐟ²–2x).

Passo 5

Para f(x)=x²ᐟ³·cos x/(x⁴+tg²x+1)², aplicamos quociente, produto e cadeia em x²ᐟ³·cos x e em (x⁴+tg²x+1)².

Passo 6

Para f(x)=(x·tg²x)¹ᐟ⁶, usamos a regra da cadeia: f’=1/6(x·tg²x)⁻⁵ᐟ⁶·(tg²x+2x·tg x·sec²x).

Passo 7

Para f(x)=(√x+cossec x)/(x³+3x²), aplicamos quociente com u’=1/(2√x)+cossec x·cotg x e v’=3x²+6x.

Passo 8

Para f(x)=sec(√(x²+1)), usamos cadeia em sec(u): f’=sec(u)·tg(u)·u’ com u’=x/√(x²+1).

Passo 9

Para f(x)=x²·tg(x³–x²)/sec x, reescrevemos como x²·tg(A)·cos x e aplicamos produto e cadeia.

Passo 10

Para f(x)=x·sen x·cos x, usamos produto várias vezes ou escrevemos f=(x/2)·sen2x e obtemos f’=1/2·sen2x+x·cos2x.

Passo 11

Para f(x)=(x+λ)⁴/(x⁴+λ⁴), aplicamos a regra do quociente com u’ =4(x+λ)³ e v’=4x³.

Passo 12

Para f(x)=1/sen(x–sen x), usamos f=sen(u)⁻¹ e cadeia: f’=-cos(u)(1–cos x)/sen²(u).

Passo 13

Para f(x)=2x/(x+√x)¹ᐟ³, aplicamos quociente e em (x+√x)¹ᐟ³ usamos cadeia com u’=1+1/(2√x).

Passo 14

Para f(x)=cotg(3x²+5), usamos cadeia em cotg(u): f’=-csc²(u)·6x.

Passo 15

Para f(x)=x²/(sen³³x·cos¹⁷x), reescrevemos f=x²·sen⁻³³x·cos⁻¹⁷x e aplicamos produto e cadeia.

Passo 16

Para f(x)=x¹ᐟ³·sen x/(x²·cos(x²)), aplicamos o quociente, derivando u=x¹ᐟ³·sen x e v=x²·cos(x²).

Resposta

  1. f’(x)=–2/(x–1)²
  2. f’(x)=[192x²(2x³+1)³¹(x+2)–(2x³+1)³²]/(x+2)²
  3. f’(x)=[(4–4x³)(x³+2)¹⁰⁰–(4x–x⁴)·300x²(x³+2)⁹⁹]/(x³+2)²⁰⁰
  4. f’(x)=sen(x⁵ᐟ²–x²)+x·cos(x⁵ᐟ²–x²)·(5/2 x³ᐟ²–2x)
  5. f’(x)=[((2/3)x⁻¹ᐟ³ cos x–x²ᐟ³ sen x)(x⁴+tg²x+1)²–x²ᐟ³ cos x·2(x⁴+tg²x+1)(4x³+2tg x sec²x)]/(x⁴+tg²x+1)⁴
  6. f’(x)=1/6(x·tg²x)⁻⁵ᐟ⁶ (tg²x+2x·tg x·sec²x)
  7. f’(x)=[(1/(2√x)+csc x cot x)(x³+3x²)–(√x+csc x)(3x²+6x)]/(x³+3x²)²
  8. f’(x)=sec(√(x²+1))·tg(√(x²+1))·x/√(x²+1)
  9. f’(x)=2x·tg(x³–x²)·cos x + x²[sec²(x³–x²)(3x²–2x)·cos x–tg(x³–x²)·sin x]
  10. f’(x)=1/2·sen2x + x·cos2x
  11. f’(x)=[4(x+λ)³(x⁴+λ⁴)–(x+λ)⁴·4x³]/(x⁴+λ⁴)²
  12. f’(x)=–cos(x–sen x)(1–cos x)/sen²(x–sen x)
  13. f’(x)=[2(x+√x)¹ᐟ³–2x·(1/3)(x+√x)⁻²ᐟ³(1+1/(2√x))]/(x+√x)²ᐟ³
  14. f’(x)=–6x·csc²(3x²+5)
  15. f’(x)=2x·sen⁻³³x·cos⁻¹⁷x + x²[–33 sen⁻³⁴x·cos⁻¹⁷x·cos x +17 sen⁻³³x·cos⁻¹⁸x·sen x]
  16. f’(x)=[(1/3 x⁻²ᐟ³ sen x + x¹ᐟ³ cos x)(x² cos(x²))–x¹ᐟ³ sen x (2x cos(x²)–2x³ sin(x²))]/(x² cos(x²))²

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