Com a devida justificativa, mostre que:
integral0^pi2 1+cos (2 x)2 d x=pi4

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para mostrar que:
integral0^pi2 1 + cos(2x)2 , dx = pi4
Estamos lidando com integração definida, que faz parte do Cálculo Integral. Para resolver isso, vamos precisar saber como integrar funções trigonométricas básicas e aplicar as propriedades das integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral:
1 + cos(2x)2
Isso pode ser visto como a média de 1 e cos(2x). Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
integral0^pi2 12 , dx + integral0^pi2 cos(2x)2 , dx

Passo 3

Agora, vamos resolver cada parte separadamente.
Primeira integral:
integral0^pi2 12 , dx = 12 integral0^pi2 1 , dx
A integral de 1 em relação a x é simplesmente x, então:
12 [ x ]0^pi2 = 12 ( pi2 - 0 ) = pi4
Segunda integral:
integral0^pi2 cos(2x)2 , dx = 12 integral0^pi2 cos(2x) , dx

Passo 4

Para integrar cos(2x), usamos a fórmula de integração de funções trigonométricas:
integral cos(ax) , dx = sin(ax)a + C
Aplicando isso aqui com a = 2:
12 [ sin(2x)2 ]0^pi2 = 14 ( sin(pi) - sin(0) ) = 14 (0 - 0) = 0

Passo 5

Agora, juntamos os resultados das duas integrais:
pi4 + 0 = pi4

Resposta

Portanto,
integral0^pi2 1 + cos(2x)2 , dx = pi4

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