Aplique o método dos coeficientes indeterminados para resolver o sistema
em (-infty,+infty).
X^prime=(rr -1 & -2 3 & 4 ) X+binom33, X(0)=binom-45

Passo 1

Resumo do enunciado: temos o sistema não-homogêneo de coeficientes constantes
X′=AX+b, onde
A= -1 & -23 & 4, b=\binom{3}{3}, X(0)=\binom{-4}{5}.
O conteúdo é sistema linear não-homogêneo e vamos usar o método dos coeficientes indeterminados: primeiro resolvemos a parte homogênea por autovalores e autovetores, depois achamos uma solução particular constante.

Passo 2

Para resolver a parte homogênea, calculamos o polinômio característico de A:
[ det(A-lambda I)=det-1-lambda & -23 & 4-lambda=(-1-lambda)(4-lambda)-(-2)cdot3=lambda^2-3lambda+2=0]
As raízes são lambda1=1 e lambda2=2.

Passo 3

Em seguida encontramos os autovetores:
Para lambda1=1 resolvemos (A-I)v=0 e obtemos v1=1-1
Para lambda2=2 resolvemos (A-2I)v=0 e obtemos v2=2-3

Passo 4

A solução geral da parte homogênea é
[ Xh(t)=C1v1e^lambda1t+C2v2e^lambda2t=C11-1e^t+C22-3e^2t]

Passo 5

Para a solução particular constante Xp=(a,b)^T fazemos 0=Xp'=AXp+b, ou seja
[ Aab=-33iff-a-2b=-33a+4b=-3]
Resolvendo vem a=-9 e b=6, logo Xp=-96

Passo 6

A solução geral do sistema não-homogêneo é
[ X(t)=Xh(t)+Xp=C11-1e^t+C22-3e^2t+-96]

Passo 7

Para determinar C1,C2 usamos a condição inicial:
[ X(0)=C11-1+C22-3+-96=-45]
Isso gera o sistema
[ C1+2C2=5-C1-3C2=-1,]
cuja solução é C1=13 e C2=-4.

Resposta

[ X(t)=13e^t-8e^2t-9-13e^t+12e^2t+6 ]

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