Calcule f^{\prime}(x) onde f(x) é igual a:
f(x)=(1+\sqrt{x}) e^{x} \operatorname{tg} x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
\displaystyle f(x)=(1+\sqrt{x})\,e^x\tan x.
O conteúdo principal é a regra do produto (para três fatores) e a derivada de \sqrt{x}.

Passo 2

Vamos escrever cada fator separadamente:
g(x)=1+\sqrt{x},\quad h(x)=e^x,\quad t(x)=\tan x.

Passo 3

Agora calculamos as derivadas de cada um:
g'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}},\quad h'(x)=e^x,\quad t'(x)=\operatorname{sec}^2 x.

Passo 4

Pela regra do produto para três funções,
f'(x)=g'(x)\,h(x)\,t(x)\;+\;g(x)\,h'(x)\,t(x)\;+\;g(x)\,h(x)\,t'(x).

Passo 5

Substituindo os valores de g, h, t e suas derivadas e fatorando e^x, temos
f'(x) =e^x\Bigl(\underbrace{\tfrac{1}{2\sqrt{x}}\tan x}_{g'(x)h(x)t(x)}+\underbrace{(1+\sqrt{x})\tan x}_{g(x)h'(x)t(x)} +\underbrace{(1+\sqrt{x})\operatorname{sec}^2 x}_{g(x)h(x)t'(x)}\Bigr).

Resposta

\boxed{f'(x)=e^x\Bigl(\frac{\tan x}{2\sqrt{x}}+(1+\sqrt{x})\tan x+(1+\sqrt{x})\operatorname{sec}^2 x\Bigr).}

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